1-струя
Cтраница 2
Теоремы этого и предыдущего пунктов показывают, что в классе векторных полей на плоскости с ненулевой 1-струей ( линейной частью) в особой точке проблема различения центра и фокуса алгебраически разрешима. [16]
Рассмотрим теперь нелинейное уравнение с частными производными первого порядка относительно функции и: Vй - М как гиперповерхность Е2п в многообразии 1-струй M2n 1 J ( Vn, M), снабженном стандартной контактной структурой. [17]
TO одинаковую fc - струю, если у ( х ] - У2 ( % ( - - - то k таким образом, 1-струя функции определяется выбором точки: /, выбором значения у функции в этой точке и выбором значения р производной. [18]
По теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению, 1-струя Ах векторного поля в точке О устойчива, если все собственные значения оператора А лежат в левой полуплоскости, неустойчива, если хотя бы одно собственное значение лежит в правой полуплоскости, и нейтральна, если хотя бы одно собственное значение лежит на мнимой оси, а в правой полуплоскости собственных значений оператора А нет. Тем самым, множества устойчивых, неустойчивых и нейтральных 1-струй полуалгебраичны при любой размерности фазового пространства. [19]
 |
Решение ЗАДАЧА 5. Доказать, что расстояние от точки плос. [20] |
Результат задачи 2 сводит интегрирование нелинейного уравнения первого порядка ( например, отыскание решения задачи Коши) к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений - уравнений характеристик. По начальному условию строится подмногообразие пространства 1-струй, проходящие через него характеристики образуют 1-график искомого решения. [21]
Построенная плоскость называется контактной плоскостью. Таким образом, в каждой точке пространства 1-струй приложена контактная плоскость; все вместе они образуют контактное поле плоскостей ( или, как еще говорят, контактную структуру) в пространстве 1-струй. [22]
Например, для функций на плоскости получаем пятимерное пространство 1-струй. [23]
Такое уравнение на n - мерном многообразии В задается гиперповерхностью Г в пространстве J1B 1-струй функций на В. [24]
Построенная плоскость называется контактной плоскостью. Таким образом, в каждой точке пространства 1-струй приложена контактная плоскость; все вместе они образуют контактное поле плоскостей ( или, как еще говорят, контактную структуру) в пространстве 1-струй. [25]
Оказывается, в нашем пространстве J1 имеется замечательная геометрическая структура - инвариантно заданное распределение 2п - мерных гиперплоскостей. Например, при п 1 получаем поле плоскостей в трехмерном пространстве. Структура появляется только в результате того, что пространство есть пространство 1-струй. Аналогичная структура возникает и в пространствах струй более высокого порядка, там она называется распределением Картана. [26]
Так как симплектическая структура на N задается как дифференциал канонической 1-формы а, то контактизация N определена. В частном случае N Т В контактизацией многообразия N является пространство 1-струй функций на В. [27]
Интегральные многообразия размерности п контактного поля в М2п 1 существуют. Они называются лежандровыми подмногообразиями. Как мы сейчас увидим, каждой функции соответствует лежандрово подмногообразие в пространстве 1-струй. [28]
 |
Типичные особые точки медленного уравнения на складке медленной поверхности. [29] |
Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной. Слои нашего расслоения касаются плоскостей поля. Следовательно, наше трехмерное пространство быстрых и медленных переменных с введенной контактной структурой расслоенным ( над плоскостью медленных переменных) локальным диффеоморфизмом переводится в трехмерное пространство 1-струй функций одного переменного, расслоенного над пространством 0-струй, с его естественной контактной структурой. [30]
Страницы: 1 2 3