Cтраница 3
В этой главе рассматривается вопрос о положительных решениях уравнений с операторами, зависящими от параметра. Простейшие теоремы существования вытекают из результатов предыдущей главы. [31]
При исследовании периодических движений динамической системы часто исходят из факта существования секущей поверхности. В этой главе с помощью результатов предыдущей главы выводится необходимое и достаточное условие существования секущей поверхности. Основные теоремы ( 3.1 и 3.2) позволяют доказать грубость свойства динамической системы иметь секущую поверхность. Устанавливается связь нашей теории с теорией интегральных инвариантов. [32]
Хотя существуют эвристические аргументы разного типа, помогающие выбрать за основу гипотезу подобия строгих критериев пока не дано. Поэтому результаты данной главы, как и результаты предыдущей главы, посвященной теории Ландау, остаются недоказанными предположениями. Однако предсказания статической гипотезы подобия иногда являются более общими, чем предсказания теории Ландау. Однако, так как гипотеза подобия приводит к функциональным соотношениям между показателями в критической точке ( см. соотношения между показателями, которые приводились выше), число независимых показателей в критической точке оказывается ограниченным. Кроме предсказания соотношений между показателями в критической точке, гипотеза подобия дает некоторые предсказания о виде уравнения состояния. И те, и другие предсказания статической гипотезы подобия подтверждаются множеством экспериментальных работ. [33]
Поскольку параметр дисперсии Р в этом случае отрицателен, возмущение распадается на ряд отрицательных солитонов и расплывающийся вправо волновой пакет. Соотношение между пакетом и солитонами определяется начальным возмущением в соответствии с результатами предыдущей главы. [34]
К требованиям такого типа относится, например, ограничение средней мощности передатчика. В некоторых случаях условия (8.1.1), (8.1.2) могут вообще отсутствовать. Как видно из результатов предыдущей главы, важнейшей информационной характеристикой канала [ Р ( у х), Р ( х) является величина 1хи, которая определяет верхний предел для асимптотически безошибочно передаваемого количества информации. Аналогичной величиной для канала IP ( y x), с ( х) ] является пропускная способность С. [35]
Все эти теоремы могут рассматриваться как в той или иной мере прямые следствия результата предыдущей главы, состоящего в том, что все рекурсивные функции представимы в Q, и одной чрезвычайно простой леммы ( леммы о диагонализации), идея которой принадлежит Геделю; эта лемма будет доказана ниже. Первое понятие, которое нам надлежит ввести, - это понятие геделевой нумерующей. [36]
В заключение отметим, что проблема планирования и использования запасов для улучшения технических характеристик систем является весьма распространенной. Подход к анализу влияния запасов, методика, расчетные формулы и выводы данной главы ( впрочем, так же, как и многие результаты предыдущих глав) могут быть полезными и без существенных изменений использованы при анализе процесса функционирования многих производственных систем, систем обеспечения запасными элементами служб технического обслуживания и ремонта и других систем. [37]
Гравитационные силы существенно влияют на процессы смешения лишь при значениях Recp до 10 000, а далее их роль уменьшается. Так, при сопоставлении кривых 1 и 4, соответствующих вытеснению дизельным топливом глинистого раствора, и, наоборот, при разности плотностей Ар 0 3 ч - 0 4 г / см3 видно, что Ксм больше при вытеснении глинистого раствора дизельным топливом. Нетрудно видеть, что коэффициент смешения выше в случае, когда плотность вытесняющей жидкости меньше плотности вытесняемой. Эти выводы находятся в полном соответствии с результатами предыдущей главы. [38]
Этап I был ранее реализован в гл. Этапы II и III реализуются в гл. IV может быть реализован при весьма общих условиях на оператор Q. Проиллюстрируем всю процедуру на примере задачи, где требующиеся оценки легко получаются с помощью некоторых результатов предыдущих глав. [39]
В анализе и его приложениях дело обыкновенно обстоит так, что проблемы интегрирования важнее проблем дифференцирования, но выполнение дифференцирования представляет значительно меньше трудностей. Поэтому при построении дифференциального и интегрального исчисления представляется естественным сперва научиться дифференцировать возможно более широкие классы функций и затем использовать полученные результаты с помощью основных теорем гл. При этом мы начнем опять сначала, а именно в систематическом порядке проведем важнейшие дифференцирования и интегрирования, не ссылаясь на результаты предыдущей главы. [40]
Нужно, впрочем, отметить, что эта аналогия является полной только в случаях одного реагирующего вещества или стехиомет-рической смеси. Если в реакции участвует несколько веществ, поступающих в реактор, то условие стехиометрии потоков ( II, 42) уже не осуществляется и кинетические уравнения усложняются. Мы ограничимся рассмотрением случаев, когда скорость реакции может быть представлена как функция от одной переменной концентрации. Сюда относятся случаи реакций с участием только одного исходного вещества, стехиометрической исходной смеси, а также случай, когда одно из исходных веществ находится в очень малой концентрации. Таким образом, все результаты предыдущей главы, касающиеся стационарных тепловых режимов, остаются в силе и для реактора идеального смешения. Но в теории теплового режима гетерогенных экзотермических реакций мы не вводили в рассмотрение нестационарные и, в частности, колебательные процессы, что практически оправдано, так как большая тепловая инерция катализатора делает подобные процессы мало вероятными. Напротив, в гомогенном реакторе идеального смешения возможность колебательной неустойчивости ничем не исключается, и мы должны подвергнуть систему ( Х 26) полному анализу на устойчивость. Анализ аналогичен проделанному выше для термокинетической схемы. [41]
Нужно, впрочем, отметить, что эта аналогия является полной только в случаях одного реагирующего вещества или стехиомет -, рической смеси. Если в реакции участвует несколько веществ, поступающих в реактор, то условие стехиометрии потоков ( II, 42) уже не осуществляется и кинетические уравнения усложняются. Мы ограничимся рассмотрением случаев, когда скорость реакции может быть представлена как функция от одной переменной концентрации. Сюда относятся случаи реакций с участием только одного исходного вещества, стехиометрической исходной смеси, а также случай, когда одно из исходных веществ находится в очень малой концентрации. Это вещество можно называть лимитирующим, но в отличие от диффузионной кинетики понятие лимитирующего вещества имеет здесь уже не точный, а приближенный смысл. Таким образом, все результаты предыдущей главы, касающиеся стационарных тепловых режимов, остаются в силе и для реактора идеального смешения. Но в теории теплового режима гетерогенных экзотермических реакций мы не вводили в рассмотрение нестационарные и, в частности, колебательные процессы, что практически оправдано, так как большая тепловая инерция катализатора делает подобные процессы мало вероятными. Напротив, в гомогенном реакторе идеального смешения возможность колебательной неустойчивости ничем не исключается, и мы должны подвергнуть систему ( Х 26) полному анализу на устойчивость. Анализ аналогичен проделанному выше для термокинетической схемы. [42]