Cтраница 1
Наиболее глубокие результаты в теории множеств получены с помощью построения соответствующих моделей. Часто, однако, эти построения бывают весьма специальными, ориентированными на модели именно теории множеств, и потому они выпадают из общего плана нашей книги. Например, Гедель [1939] использовал понятие конструктивных множеств, чтобы показать, что если теория множеств Бернайса непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после присоединения к ней аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы; иными словами, если теория Бернайса имеет хотя бы одну модель, то она имеет и такую модель, в которой верны и аксиома выбора, и обобщенная континуум-гипотеза. Хорошо известно, что те же результаты с теми же доказательствами проходят и в теории множеств Цермело - Френкеля. Например, если теория множеств Бернайса ( или Цермело - Френкеля) имеет модель, то она имеет и такую модель, в которой аксиома выбора оказывается ложной, и такую, в которой аксиома выбора истинна, а обобщенная континуум-гипотеза ложна. [1]
Наиболее глубокие результаты в указанных направлениях связаны с линейными рекуррентами над кольцами Галуа, соединяющими в себе известные хорошие свойства линейных рекуррент над полями Галуа и над целочисленными кольцами вычетов. [2]
Наиболее глубоким результатом в теории центральных простых алгебр является теорема Алберта - Хассе - Брауэра - Нетер. [3]
Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. [4]
Одним из наиболее глубоких результатов об их строении является теорема Ширшова, утверждающая, что свободная и. SJ [ X ], которая определяется как наименьшее подпространство в свободной ассоциативной алгебре Ass [ X ], содержащее X и замкнутое относительно йорданова умножения. Ass [ X ], ) порождается множеством X и всевозможными тетрадами xiXjXkXi XiXjXhxL - - XiXhXjXi при Х 3 она совпадает с и. Никаких критериев йордановости элементов из Ass [ X ] при Jf 3 пока не найдено. [5]
В этой области работали многие исследователи, однако наиболее глубокие результаты были получены проф. Тем не менее созданная им основная теория является образцом научного исследования сложнейшего из процессов химической технологии. Изложенная в курсе А. М. Трегубова [13] эта теория здесь не приводится, ибо читателю лучше ознакомиться с ней в превосходном авторском изложении. [6]
Обыкновенные дифференциальные уравнения удается проинтегрировать в квадратурах крайне редко. Наиболее глубокие результаты о возможности интегрирования в квадратурах получаются на основе восходящей к С. [7]
Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П. Л. Чебышев ( 1821 - 1894) - один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П. Л. Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время являются могучим средством исследования во многих вопросах математики и техники. [8]
Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П.Л. Чебышев ( 1821 - 1894) - один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П.Л.Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время являются могучим средством исследования во многих вопросах математики и техники. [9]
У) Ч iQ ( х У) являются соединениями двух многочленов от х и у, отнюдь не произвольных, но, во-первых, гармонических, а, во-вторых, сопряженных между собой. Все основные и наиболее глубокие результаты и постановки задач в этом обширном разделе теории функций принадлежат советским ученым. [10]
Как уже отмечалось выше, класс наракомпактных пространств нашел многочисленные и весьма важные приложения в самых различных разделах математики, поэтому теория этих пространств за последние тридцать лет получила значительное развитие. Конец этого пункта мы посвящаем беглому описанию наиболее глубоких результатов этой теории, отсылая читателя за их доказательством, например, к монографии [3] ( гл. [11]
Обозревая предмет с современных позиций, мы пришли к выводу, что лучше всего излагать его на базе сравнительно немногих общих методов построения моделей. В то время как сами по себе эти методы очень просты, применяя их многократно и комбинируя различными способами, можно получить практически все наиболее глубокие результаты рассматриваемой теории. Поэтому при построении нашей книги мы, как правило, придерживались следующего плана: новый метод вводится в первом разделе соответствующей главы, а в следующих ее разделах описываются некоторые его приложения. Основные методы построения моделей - это методы, в которых для построения используются константы ( разд. В последних двух главах, 6 - й и 7 - й, мы излагаем некоторые разделы теории, требующие более развитой техники; в них используется сочетание ряда названных методов. Нам кажется, что эта книга охватывает большую часть теории моделей первого порядка, а также многие из ее приложений к алгебре и теории множеств. [12]
В настоящей главе будет доказано ( § 4.3), что такая эквивалентность имеет место при определенных предположениях в общем случае. Это составляет содержание первой асимптотической теоремы. Кроме нее в дальнейшем будут рассмотрены еще две асимптотические теоремы ( гл. Указанные асимптотические теоремы представляют собой наиболее глубокие результаты теории информации. Всем им свойственна следующая общая черта: в конечном счете они утверждают, что для предельно больших систем исчезает разница между дискретным и непрерывным, что характеристики массовых дискретных объектов могут быть подсчитаны при помощи непрерывных функциональных зависимостей, затрагивающих усредненные величины. Применительно к первой вариационной задаче это выражается в том, что дискретная функция Н In M от а, имеющая место при ограничении с ( у) а, асимптотически заменяется на непрерывную функцию Н ( а), подсчитанную при решении первой вариационной задачи. [13]
Нужно быть поистине необыкновенным читателем, чтобы испытывать вдохновение при изучении изложенных здесь результатов. Однако они служат в высшей степени важным инструментом современных исследований в теории центральных простых алгебр. Единственный известный в настоящее время способ построения групп Брауэра произвольных полей состоит в использовании этой техники. Более того, через когомологий Галуа устанавливается связь между теорией центральных простых алгебр и теорией полей классов, что приводит к глубоким теоремам о группах Брауэра локальных полей и полей алгебраических чисел. Эти теоремы относятся к числу наиболее глубоких результатов в современной алгебре. [14]