Этот замечательный результат является следствием еще более поразительной теоремы, также доказанной Геделем. Значение последней теоремы ... - Большая Энциклопедия Нефти и Газа



Выдержка из книги Столл Р.Р. Множества Логистика Аксиоматические теории


Этот замечательный результат является следствием еще более поразительной теоремы, также доказанной Геделем. Значение последней теоремы ( называемой обычно теоремой Геделя о неполноте) исключительно велико - она показала невыполнимость программы Гильберта в ее полном виде, так как утверждает, по существу, что любая непротиворечивая формальная теория, формализующая арифметику натуральных чисел, не полна. Основную роль в доказательстве этой теоремы играет некоторое арифметическое высказывание S, обладающее тем свойством, что ни S, ни-5 не являются теоремами, что и доказывает отрицательную неполноту теории. Поскольку S и - S суть именно высказывания ( а не просто некоторые формулы), то - если интерпретировать их как высказывания содержательной арифметики - одно из них истинно, а другое ложно. А так как ни одно из них не доказуемо, то получается, что в арифметике имеется истинное, но не доказуемое высказывание. Иными словами, в арифметике имеется неразрешимое высказывание.

(cкачать страницу)

Смотреть книгу на libgen

Этот замечательный результат является следствием еще более поразительной теоремы,  также доказанной Геделем.  Значение последней теоремы ( называемой обычно теоремой Геделя о неполноте) исключительно велико  -  она показала невыполнимость программы Гильберта в ее полном виде,  так как утверждает,  по существу,  что любая непротиворечивая формальная теория,  формализующая арифметику натуральных чисел,  не полна.  Основную роль в доказательстве этой теоремы играет некоторое арифметическое высказывание S,  обладающее тем свойством,  что ни S,  ни-5 не являются теоремами,  что и доказывает отрицательную неполноту теории.  Поскольку S и - S суть именно высказывания ( а не просто некоторые формулы),  то  -  если интерпретировать их как высказывания содержательной арифметики  -  одно из них истинно,  а другое ложно.  А так как ни одно из них не доказуемо,  то получается,  что в арифметике имеется истинное,  но не доказуемое высказывание.  Иными словами,  в арифметике имеется неразрешимое высказывание.