Этот замечательный результат является следствием еще более поразительной теоремы, также доказанной Геделем. Значение последней теоремы ... - Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Выдержка из книги
Столл Р.Р.
Множества Логистика Аксиоматические теории
Этот замечательный результат является следствием еще более поразительной теоремы, также доказанной Геделем. Значение последней теоремы ( называемой обычно теоремой Геделя о неполноте) исключительно велико - она показала невыполнимость программы Гильберта в ее полном виде, так как утверждает, по существу, что любая непротиворечивая формальная теория, формализующая арифметику натуральных чисел, не полна. Основную роль в доказательстве этой теоремы играет некоторое арифметическое высказывание S, обладающее тем свойством, что ни S, ни-5 не являются теоремами, что и доказывает отрицательную неполноту теории. Поскольку S и - S суть именно высказывания ( а не просто некоторые формулы), то - если интерпретировать их как высказывания содержательной арифметики - одно из них истинно, а другое ложно. А так как ни одно из них не доказуемо, то получается, что в арифметике имеется истинное, но не доказуемое высказывание. Иными словами, в арифметике имеется неразрешимое высказывание.