Наше достаточное условие, таким образом, не является необходимым; с другой стороны, если задать произвольный расходящийся ... - Большая Энциклопедия Нефти и Газа



Выдержка из книги Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том1 Конструктивная теория функций


Наше достаточное условие, таким образом, не является необходимым; с другой стороны, если задать произвольный расходящийся ряд с положительными членами 2 ап, то всегда можно построить функцию / ( х) без непрерывной производной такую, что Еп [ / ( х) ] ап. Следовательно, как бы ни была слаба расходимость ряда Еп [ / ( х) ], она способна нарушить непрерывность производной; значит, невозможно ослабить достаточное условие, которое, как мы только что видели, не является в то же время необходимым. Итак, вообще говоря, классы функций 3 ( для а 1) и 3 bis не могут быть полностью характеризованы при помощи наилучшего приближения; существуют предельные случаи, когда природа непрерывности производной ( которая не выражается никаким условием Липшица) так мало отличается от некоторой формы разрывности, что посредством одного лишь рассмотрения наилучших приближений En [ f ( х) ] ( для всех п) невозможно решить, является ли эта производная непрерывной или нет. Я полагаю, что изучение этих критических случаев, когда функции, обладающие одним и тем же порядком наилучшего приближения, различаются, повидимому, своими дифференциальными свойствами, могло бы способствовать более глубокому уяснению самого понятия непрерывности.

(cкачать страницу)

Смотреть книгу на libgen

Наше достаточное условие, таким образом, не является необходимым; с другой стороны, если задать произвольный расходящийся ряд с положительными членами 2 ап, то всегда можно построить функцию / ( х) без непрерывной производной такую, что Еп [ / ( х) ] ап. Следовательно, как бы ни была слаба расходимость ряда Еп [ / ( х) ], она способна нарушить непрерывность производной; значит, невозможно ослабить достаточное условие, которое, как мы только что видели, не является в то же время необходимым. Итак, вообще говоря, классы функций 3 ( для а 1) и 3 bis не могут быть полностью характеризованы при помощи наилучшего приближения; существуют предельные случаи, когда природа непрерывности производной ( которая не выражается никаким условием Липшица) так мало отличается от некоторой формы разрывности, что посредством одного лишь рассмотрения наилучших приближений En [ f ( х) ] ( для всех п) невозможно решить, является ли эта производная непрерывной или нет. Я полагаю, что изучение этих критических случаев, когда функции, обладающие одним и тем же порядком наилучшего приближения, различаются, повидимому, своими дифференциальными свойствами, могло бы способствовать более глубокому уяснению самого понятия непрерывности.