В заключение этого параграфа обсудим дискретные группы изометрий гиперболической плоскости. Если G - такая группа ... - Большая Энциклопедия Нефти и Газа



Выдержка из книги Скотт П.N. Геометрии на трехмерных многообразиях


В заключение этого параграфа обсудим дискретные группы изометрий гиперболической плоскости. Если G - такая группа и G действует на Я2 свободно, то, как и обычно, фак-тормногообразие H2 / G наследует естественную метрику, такую что проекция H2 - - H2 / G является локальной изометрией. Если G действует несвободно, то H2 / G все равно наследует естественную метрику, но при этом имеются особые точки трех типов - конические точки, отражающие прямые и угловые отражатели. Хороший класс примеров опять доставляют группы треугольников. Как обычно, мы определяем группу A ( p q r) как группу изометрий гиперболической плоскости, порожденную отражениями относительно сторон треугольника А, а группу h ( p q r) как ее подгруппу, состоящую из преобразований, сохраняющих ориентацию. Можно доказать, что образы треугольника А под действием группы k ( p q r) задают разбиение гиперболической плоскости и что стабилизатор треугольника А тривиален, но это не так очевидно, как в предыдущих случаях. Отсюда следует, что факторповерхность Я2 / А ( р, q, r) изометрична исходному треугольнику А, а факторповерхность H2 / & ( p q r) изометрична удвоенному треугольнику А и потому является двумерной сферой с гиперболической метрикой всюду, кроме трех конических точек.

(cкачать страницу)

Смотреть книгу на libgen

В заключение этого параграфа обсудим дискретные группы изометрий гиперболической плоскости. Если G - такая группа и G действует на Я2 свободно, то, как и обычно, фак-тормногообразие H2 / G наследует естественную метрику, такую что проекция H2 - - H2 / G является локальной изометрией. Если G действует несвободно, то H2 / G все равно наследует естественную метрику, но при этом имеются особые точки трех типов - конические точки, отражающие прямые и угловые отражатели. Хороший класс примеров опять доставляют группы треугольников. Как обычно, мы определяем группу A ( p q r) как группу изометрий гиперболической плоскости, порожденную отражениями относительно сторон треугольника А, а группу h ( p q r) как ее подгруппу, состоящую из преобразований, сохраняющих ориентацию. Можно доказать, что образы треугольника А под действием группы k ( p q r) задают разбиение гиперболической плоскости и что стабилизатор треугольника А тривиален, но это не так очевидно, как в предыдущих случаях. Отсюда следует, что факторповерхность Я2 / А ( р, q, r) изометрична исходному треугольнику А, а факторповерхность H2 / & ( p q r) изометрична удвоенному треугольнику А и потому является двумерной сферой с гиперболической метрикой всюду, кроме трех конических точек.