Cтраница 2
Координатная прямая - это всякая прямая, на которой выбраны направление, принимаемое за положительное, точка - начало отсчета и единица измерения - масштабный отрезок, длина которого принимается равной единице. Точка О разбивает координатную прямую на два луча, один из которых имеет положительное направление и называется положительным лучом, другой - отрицательным. Координата начальной точки О равна нулю. [16]
Этой десятой долей единицы длины измеряем остаток MD; в нашем случае MD составил 7 десятых единицы длины и образовался еще некоторый остаток, который придется уже измерять одной сотой долей масштабного отрезка. Такой процесс измерения продолжается бесконечно, если только на некотором этапе доля 10 - масштабного отрезка не уложится в очередном остатке ровно целое число раз. На практике, конечно, длины задаются с известной степенью точности. [17]
Этой десятой долей единицы длины измеряем остаток MD; в нашем случае MD составил 7 десятых единицы длины и образовался еще некоторый остаток, который придется уже измерять одной сотой долей масштабного отрезка. Такой процесс измерения продолжается бесконечно, если только на некотором этапе доля 10 - масштабного отрезка не уложится в очередном остатке ровно целое число раз. На практике, конечно, длины задаются с известной степенью точности. [18]
Поэтому длину АВ считаем равной 6 единицам длины ОЕ. В отрезке CD ( рис. 165) масштабный отрезок укладывается 3 раза, но не может быть уложен 4 раза. [19]
С помощью точек числовой оси изображают действительные числа. Целые числа изображаются точками, которые получаются откладыванием масштабного отрезка нужное число раз вправо от начала О в случае положительного целого числа и влево в случае отрицательного. [20]
Этой десятой долей единицы длины измеряем остаток MD; в нашем случае MD составил 7 десятых единицы длины и образовался еще некоторый остаток, который придется уже измерять одной сотой долей масштабного отрезка. Такой процесс измерения продолжается бесконечно, если только на некотором этапе доля 10 - масштабного отрезка не уложится в очередном остатке ровно целое число раз. На практике, конечно, длины задаются с известной степенью точности. [21]
Приложим векторы а и b к общему началу О. Тогда эти векторы расположатся на одной прямой, на которой мы выберем начало отсчета, масштабный отрезок и положительное направление. На рис. 2.9 изображен первый из указанных случаев. [22]
Для доказательства теоремы достаточно показать, что каждое из отношений (203.1) равно одному и тому же числу. Чтобы ввести в рассмотрение это число, отложим на одной из прямых, например на АВ, масштабный отрезок MN и проведем через его концы прямые того же направления, что и наши секущие параллельные прямые. Отношение MN / M N будет некоторым вполне определенным числом, так как величина его не зависит от того, в каком месте на АВ взят масштабный отрезок. [23]
Пусть, например, даны два отрезка АВ и CD. Если найдется такой отрезок, который уложится m раз в АВ и п раз в CD, то, приняв его за масштабный отрезок, мы выразим длины АВ и CD целыми числами тип. [24]
Пусть, например, даны два отрезка АВ и CD. Если найдется такой отрезок, который уложится т раз в АВ и п раз в CD, то, приняв его за масштабный отрезок, мы выразим длины АВ и CD целыми числами тип. [25]
Отсюда видно, что сложное отношение ЬАВ является искомой проективной формой, выражающей длину отрезка. Так как величина fAB зависит, кроме концов Л и В данного отрезка, еще от масштабной точки С и несобственной точки Du, то она остается инвариантной при таких коллинеациях, которые не меняют несобственной прямой и преобразуют масштабный отрезок в кон-груентный ему отрезок. Такими коллинеациями являются все движения. Поэтому можно сказать, что найденная длина отрезка ЬАВ остается инвариантной при всех движениях последнего. [26]
Будем считать далее, что масштабный отрезок системы координат на прямой используется для измерения длин любых отрезков на плоскости. Рассмотрим призвольную точку М плоскости. [27]
Для доказательства теоремы достаточно показать, что каждое из отношений (203.1) равно одному и тому же числу. Чтобы ввести в рассмотрение это число, отложим на одной из прямых, например на АВ, масштабный отрезок MN и проведем через его концы прямые того же направления, что и наши секущие параллельные прямые. Отношение MN / M N будет некоторым вполне определенным числом, так как величина его не зависит от того, в каком месте на АВ взят масштабный отрезок. [28]
Его длина объявляется равной единице. Откладываем единичный отрезок на АВ столько раз ( может быть, и нуль раз. На рис. 164 масштабный отрезок уложился в АВ ровно 6 раз. Поэтому длину АВ считаем равной 6 единицам длины ОЕ. В отрезке CD ( рис. 165) масштабный отрезок укладывается 3 раза, но не может быть уложен 4 раза. [29]
Его длина объявляется равной единице. Откладываем единичный отрезок на АВ столько раз ( может быть, и нуль раз. На рис. 164 масштабный отрезок уложился в АВ ровно 6 раз. Поэтому длину АВ считаем равной 6 единицам длины ОЕ. В отрезке CD ( рис. 165) масштабный отрезок укладывается 3 раза, но не может быть уложен 4 раза. [30]