Cтраница 1
Субмартингалы ( супермартингалы, мартингалы) были введены в § 6 гл. В настоящем параграфе будет показано, что при весьма широких предположениях субмартингалы ( а следовательно, супермартингалы и мартингалы) обладают непрерывными справа модификациями. При этом теоремы о существовании сепарабельной модификации не будут использованы. [1]
Структура произвольного субмартингала описывается следующей теоремой. [2]
Супермартингалы и субмартингалы называют также полумартингалами. [3]
Мартингал ( субмартингал) X ( t3 t) t o называется удовлетворяющим обычным условиям, если фильтрация ( t) t o расширена классом Р - нулевых множеств и непрерывна справа. [4]
Из определения обращенного субмартингала следует, что ESn ESn, п е N. Поэтому последовательность ESn n сходится. [5]
Если X - субмартингал и sup M Х оо ( или, что эквивалентно, sup МХ. [6]
Если X - субмартингал и sup M [ Хп со ( или, что эквивалентно, sup МХ. [7]
Пусть / - субмартингал относительно некоторой возрастающей последовательности а-алгебр, причем функции п неотрицательны и supn / n t2 ( p) оо. [8]
Это фундаментальное свойство субмартингалов будет точно сформулировано в предложении IV. [9]
Неравенство Колмогорова для положительных субмартингалов. [10]
Ft) является субмартингалом, для к-рого в его разложении Дуба - Мснера 5 - Л / - ] - т / процесс m - - mf, Ft) наз. [11]
Если эта последовательность - субмартингал, то в ( 5) имеет место обратное неравенство. Если последовательность образует мартингал, то ( 5) превращается в равенство. [12]
Пудом говорить, что субмартингал X ( А) прннидлошит классу ( DL), если для каждого а0 семейство олучийпых наличии ( Х0: oeSa) равномерно интегрируемо. [13]
Ясно, что понятие субмартингала отвечает представлению о последовательности игр, выгодных для статистика. В самом деле, согласно ( 3), на каждом шаге последовательного процесса выбора средний выигрыш после очередного наблюдения не меньше его выигрыша в настоящей момент. Аналогично супермартингал является моделью для последовательности игр, которые либо справедливы, либо невыгодны для статистика. В нашем контексте не очень удачно то обстоятельство, что невыгодным играм отвечает понятие супермартингал, а выгодным - субмартингал. [14]
Следующий результат о сходимости субмартингалов является естественным аналогом теоремы классического анализа о существовании предела у ограниченной монотонной числовой последовательности. [15]