Cтраница 1
Вейлевская аксиоматика позволяет очень просто определить прямые, плоскости, параллельность, перпендикулярность и прочие евклидовы понятия, причем все построение здания геометрии оказывается простым и кратким. [1]
По существу идеи вейлевской аксиоматики очень близки к теме лекций Клейна. Точка, с которой начинает изложение Клейн, является первоначальным понятием и у Вейля. Свободный вектор, рассмотренный Клейном в качестве одного из простейших геометрических образов, является первоначальным понятием и у Вейля. Но если Клейн определяет точку тремя ее координатами и вводит вектор на основе грассманова принципа, то Вейль считает эти понятия неопределяемыми и лишь описывает в аксиомах их основные свойства. [2]
При первом же взгляде на вейлевскую аксиоматику бросается в глаз, что те свойства векторов, которые доказываются при обычном школьном изложении, здесь принимаются за аксиомы. Оказывается, что этот прием позволяет сделать построение курса геометрии очень кратким и простым; это - в подлинном смысле царский путь в геометрию, существование которого по преданию подвергал сомнению Евклид в разговоре с правителем. [3]
Если гильбертовская аксиоматика направлена в историческое прошлое геометрии и преследует цель дать математически корректное обоснование геометрии в духе Евклида ( с выходами з неевклидову, неархимедову геометрию и др.); если, далее, аксиоматика, базирующаяся на свойствах движений ( Клейн, Шур и др.), отказывается от принятия конгруэнтности ( треугольников) в качестве первоначального понятия и использует для обоснования геометрии групповой подход, являющийся прогрессивным завоеванием математики XIX столетия, - и тем самым направлена на современные научные направления, то вейлевскую аксиоматику можно рассматривать как направленную в будущее. Более того, такой подход к аксиоматике позволяет устранить разрыв между школьной математикой, вузовской математикой и современной математической наукой. [4]