Cтраница 1
Доказательства непротиворечивости методом модели являются относительными. Теория, для которой строится модель, непротиворечива, если непротиворечива та теория, из которой модель берется. [1]
Для доказательства непротиворечивости этого определения нужно только показать, что одни и те же граничные ( п - - симплексы порождаются любым допустимым упорядочением вершин я-симплекса, но это очевидно и мы не будем на этом останавливаться. [2]
Все такие доказательства непротиворечивости, полученные строго элементарными методами, должны остановиться перед непротиворечивостью арифметического формализма с неограниченной схемой индукции, как это вытекает из знаменитой Второй теоремы Геделя 11931, теорема 30 § 42 ], согласно которой непротиворечивость этой системы не может быть установлена методами, формализуемыми в ней самой. [3]
Для нашего доказательства непротиворечивости достаточно показать, что каждая выводимая формула без переменных при естественном распределении истинностных значений, складывающемся из выделенного распределения истинностных значений для равенства, рекурсивной процедуры вычисления постоянных сумм и произведений и из истолкования связок исчисления высказываний как истинностных функций, является истинной. Поэтому для нашего доказательства достаючно будет рассматривать только выводы формул без переменных. [4]
Поэтому для доказательства непротиворечивости системы ( Z) достаточно показать, что в ( 30 невыводима пустая секвенция. [5]
Намеченные здесь доказательства непротиворечивости систем геометрических аксиом показывают, что мы вполне можем пользоваться идеями обычных доказательств непротиворечивости, производимых путем сведения к арифметике. [6]
Так, для доказательства непротиворечивости приходится выходит ь за рамки строго финитных методов. Полнота же вообще не имеет места для построенной нами формальной арифметической системы. В этом состоит смысл знаменитой теоремы Геделя о неполноте арифметики, заставившей по-новому взглянуть на всю проблему обоснования математики и автоматизации ( на базе полной формализации) процесса вывода новых теорем в дедуктивно строящихся теориях. [7]
Например, для доказательства непротиворечивости наших аксиом достаточно заметить ( ср. [8]
Как известно, для доказательства непротиворечивости нашего формализма достаточно показать, что любая выводимая в нем формула без переменных при естественном определении истинностных и арифметических функций и при обычном понимании равенств между цифрами является истинной. [9]
Примерами этого могут служить доказательства непротиворечивости нек-рых положений дескриптивной теории множеств ( 1951) ( часть из к-рых была сформулирована ранее К. Результаты этого рода способствуют преодолению платонпстской точки зрения, согласно к-рой любая проблема теории множеств ( и математики вообще) независимо от какой бы то пи было аксио. [10]
Данная теорема может использоваться для доказательства непротиворечивости S, но основную ценность для нас представляет та информация, которую нам может дать доказательство из f ( S) о структуре возможного доказательства из S. [11]
Существует возможность высказать принципы, позволяющие создавать предпосылки для доказательства непротиворечивости мощных формальных систем и, мо жет быть, даже теоретико-множественных систем. Вместе с тем эти принципы таковы, что непротиворечивость самих предпосылок принципиально гораздо более обоснована, чем это имеет место для теоретико-множественных систем. Однако это выходит за рамки настоящей книги, и здесь мы этих вопросов касаться не будем. В дальнейшем мы ограничимся доказательством непротиворечивости только в таких пределах, в каких это попускает финитизм Гильберта. [12]
Средствами последнего ( хотя это явно и не оговаривается) проводятся доказательства непротиворечивости классич. Минимальное исчисление предикатов систематически используется в качестве логич. [13]
В главе II мы уже указывали метод, который применялся и применяется для доказательства непротиворечивости и независимости аксиом. [14]
Основной причиной применения финитных методов в метаматематике является недостоверность иефцнитных методов; обоснованием последних и должны были служить финитные доказательства непротиворечивости. [15]