Cтраница 2
Алгебраический подход позволяет непосредственно использовать алгебраич. Так, с помощью теории автоматов были получены доказательства разрешимости нек-рых арифметических теорий второй ступени, а также новое, более простое, решение ограниченной Бернсайда проблемы. [16]
И: принципа Лере-Щаудера поэтому следует, что для доказательства разрешимости в L системы (31.32) ( т.е. для доказательства теорем. [17]
В последней, шестой главе указаны простейшие приложения общих теорем, установленных в основной части книги. Здесь описаны общие пути применения теорем о непрерывности и полной непрерывности интегральных операторов для доказательства разрешимости различных уравнений, для оценки числа решений, для обоснования сходимости некоторых приближенных методов, для исследования бифуркационных значений параметров и др. Изложены применения дробных степеней операторов к анализу сходимости рядов Фурье и метода Фурье решения краевых задач. Изучен оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений с неограниченными операторами в банаховых пространствах; неподвижные точки таких операторов определяют, например, периодические решения параболических уравнений. [18]
И, как правило, для решения первой задачи требуются значительно большие усилия. В особенности сказанное относится к программам, содержащим рекурсивные или итеративные процедуры. В соответствии с обсуждаемым подходом для доказательства разрешимости такой программы должны быть на самом деле выполнены все шаги, задаваемые этими процедурами. Были, однако, разработаны другие методы демонстрации разрешимости, которые позволяют сделать заключение о результатах итеративных и рекурсивных вычислений, в действительности их не порождая. В этих методах обычно требуется расширить знания, закодированные в процедурах из Р, первопорядко-выми аксиомами индукции, и тогда этой информации оказывается достаточно для доказательства того, например, что итерация через конечное число шагов обязательно сойдется к некоторому решению. [19]
В рассмотренном примере потенциально бесконечное множество возможных выводов формулы F сводится к конечному числу F-наборов. В более сложных случаях прийти к конечному или бесконечному разрешимому множеству благоприятных наборов сложнее, однако схема доказательства в значительной степени сохраняется. В следующих параграфах эта схема детально развернута для доказательства разрешимости одного важного класса формул исчисления С. [20]