Cтраница 1
Геометрические доказательства трудны прежде всего потому, что требуют умения логически рассуждать н точно выражать свои мысли, требуют ясного понимания, что дано и что требуется доказать. Именно отсутствие навыка в проведении логических умозаключений и объясняет многочисленные ошибки в решении задач на доказательство. Читая доказательства в работах поступающих, убеждаешься, что у многих имеется весьма смутное представление о том, что значит доказать тот или иной факт. [1]
Опыт вступительных экзаменов показывает, что геометрические доказательства вызывают наибольшие труд ности у поступающих. Задачи на доказательство считаются обычно весьма сложными, более трудными, чем задачи на вычисление. [2]
Опыт вступительных экзаменов говорит о том, геометрические доказательства вызывают наибольшие трудности у поступающих. Различные задачи на доказательство считаются обычно весьма сложными, более трудными, чем задачи на вычисление. [3]
Опыт вступительных экзаменов говорит о том, что геометрические доказательства вызывают наибольшие трудности у поступающих. Различные задачи на доказа тельство считаются обычно весьма сложными, более трудными, чем задачи на вычисление. [4]
Наметим в общих чертах то, что нам нужно знать о группе pM S33 - Более подробные геометрические доказательства можно найти в приложении В. [5]
После того как мы установили способ определения времен восхода, все остальное, относящееся к этому предмету, легко разрешимо, и нам не понадобятся ни геометрические доказательства каждого из этих следствий, ни составление дополнительных таблиц. Общий ход рассуждений вполне ясен, если воспользоваться приведенными таблицами. [6]
Выше было изложено геометрическое доказательство теоремы 1.5. Тем не менее доказательство теоремы 1.2 Браудера, полученное вследствие наших построений, нельзя считать геометрическим, поскольку наши построения используют вычисления гомологии пространства Тома. Полное геометрическое доказательство должно включать геометрические доказательства теорем 1.3 и 1.4. Эта работа пока не закончена. [7]
Некоторые из его открытий не изложены в нашей книге, однако здесь имеется многое превосходное, чего нет в других местах. В Оптике автор остерегался, насколько мог, смешивать геометрические доказательства с философскими доводами, и там, где было необходимо дать математическое предложение, доказательства его не было. Здесь же, наоборот, он пространно доказывает все геометрическое, необходимое для понимания; может быть, он опустил это в другой книге по указанной причине, хотя едва ли он не знал, что лекции в некоторой мере увидели свет, так как они при публичных чтениях в Кэмбридже не только хранились в архиве, но в других экземплярах сохранялись на руках друзей. В отношении первых элементов оптики наш автор всюду следует оптическим лекциям Барроу. То, что Барроу приписывал любому свету, Ньютон исследовал дальше и применил к различно преломляемым лучам, что для Барроу было не известно. Когда же наш автор объяснил ему, то все было одобрено Барроу, как свидетельствует одно из писем д-ра Коллинса, изданное в его переписке, в котором Барроу, говоря о лекциях Ньютона, называет их трудом, больше коего едва ли имеет наше время. В лекциях доказываются многие предложения, которые автор вместе с Барроу сообщил в его лекциях без доказательств. Так, доказывается способ нахождения фокуса сферических поверхностей и других кривых поверхностей при помощи линий, определяющих кривизну. Также определяются каустики ( как их называют), происходящие от преломления. [8]
Это столь большое достижение, что следует специально проследить путь, которым Ньютон получил три закона Кеплера и затем использовал их в дальнейшей работе. Первое доказательство того, что движение планеты происходит по эллипсу, можно сделать либо используя изобретенное Ньютоном дифференциальное исчисление, либо опираясь на сложные и громоздкие геометрические доказательства. [9]
Эти выводы во многом подтверждаются известными фактами. Нафталин восстанавливается натрием в спирте точно так же, как и 1 4-дифенил-бутадиен - 1 3; при этом присоединяются два атома водорода в положения 1 4, а двойная связь в положении 2 3 не затрагивается. Геометрические доказательства подобного распределения кратностей связей даны ниже. Фенантрен представляет собой другой пример, когда такие простые рассуждения приводят к химически правильным результатам. Для фенантрена возможны пять структур типа кекулевских четырех разных типов, причем две из них различаются только ориентацией. [10]
Кроме того, алгебраические методы позволяли дать более простые и удобообозримые способы доказательства, в чем легко может убедиться читатель, сравнивая геометрические доказательства с помещенными у нас алгебраическими. В этом отношении Диофант является провозвестником новой эпохи в математике. [11]
Проведенное Риманом исследование геометрии физического пространства потребовало пересмотра всей проблемы, касающейся структуры пространства. Риман первым поставил вопрос: что же нам достоверно известно о физическом пространстве. Какие условия, или факты, заложены в самом понятии пространства еще до того, как мы, опираясь на опыт, выделяем конкретные аксиомы / которые выполняются в физическом пространстве. Из этих исходных условий, или фактов, Риман намеревался вывести остальные свойства пространства. Такие аксиомы и логические следствия из них и необходимо априори признать истинными. Любые другие свойства пространства надлежало изучать эмпирически. Одна из целей Римана состояла в доказательстве того, что аксиомы Евклида являются эмпирическими, а отнюдь не самоочевидными истинами. Риман избрал аналитический подход ( опирающийся на алгебру и анализ), поскольку геометрические доказательства не свободны от влияния нашего чувственного опыта и в них возможны допущения, не входящие явно в число посылок. [12]