Cтраница 1
Подобные доказательства могут иметь силу лишь в том случае, когда они опираются на предшествующие им прямые доказательства, полученные из принципов, более доступных нашему пониманию. В противном случае, как это нередко бывает, они могут приводить нас к ошибочным заключениям. Именно потому, что Декарт следовал по этому пути, именно потому, что он полагал, что по мудрости создателя во вселенной сохраняется всегда одно и то же количество движения, он допустил ошибку в законах движения. [1]
Подобные доказательства могут иметь силу 196 лишь в том случае, когда они опираются на предшествующие им прямые доказательства, полученные из принципов, более доступных нашему пониманию. В противном случае, как это нередко бывает, они могут приводить нас к ошибочным заключениям. Именно потому, что Декарт следовал по этому пути, он полагал, что по мудрости создателя во Вселенной сохраняется всегда одно и то же количество движения, и он допустил ошибку в законах движения. [2]
Возможности получить подобные доказательства существенно различны в разных ситуациях. При многократном выпуске СО, составляющих некоторую специфическую группу, например среднелегированных сталей, могут быть использованы корреляционные зависимости между оценкой среднего квадра-тического отклонения ( или аналогичного параметра), характеризующего распределение межлабораторных погрешностей, и содержанием определяемого компонента. [3]
Тогда признается, что стороны могут представлять подобные доказательства по спору, который вытекает из такого договора с цифровой ( электронной) подписью. [4]
Переходя к данным по радиационной ионной полимеризации, необходимо прежде всего перечислить доказательства протекания тех или иных процессов по механизму, отличному от радикального. Подобные доказательства требуются даже в таких случаях, как полимеризация изобу-тилена. Неспособность этого мономера к полимеризации по радикальному механизму в обычных условиях, строго говоря, не позволяет утверждать, что низкотемпературная полимеризация изобутилена представляет собой ионный процесс. [5]
Эти выводы, основанные на измерениях значений р / Ст, хорошо согласуются с другими физическими свойствами [ 66а ], в частности с сопоставлением УФ - и ИК-спектров самих гидрокси-соединений и их О - jV - метиловых эфиров. Однако сообщалось, что хинолон-4 - карбоновая - З кислота существует преимущественно в гндрокснформе. Химические доказательства строения этих соединений многократно обсуждались, включая их реакционную способность в отношении особенно таких реагентов, как хлорид железа или диазометан, а также изучалось строение образующихся продуктов реакции с целью установления, например, протекает ли алкилирование по атому кислорода или азота. Однако, как отмечалось [666], в случае таутомерных систем подобные доказательства обычно ненадежны и часто вообще непригодны. [6]
Эти выводы, основанные на измерениях значений р / Ст, хорошо согласуются с другими физическими свойствами [ 66а ], в частности с сопоставлением УФ - и ИК-спектров самих гидрокси-соединений и их О - н - метиловых эфиров. Однако сообщалось, что хинолон-4 - карбоповая - З кислота существует преимущественно в гмдрокснформе. Химические доказательства строения этих соединений многократно обсуждались, включая их реакционную способность в отношении особенно таких реагентов, как хлорид железа или дназометан, а также изучалось строение образующихся продуктов реакции с целью установления, например, протекает ли алкилирование по атому кислорода или азота. Однако, как отмечалось [666], в случае таутомерных систем подобные доказательства обычно ненадежны и часто вообще непригодны. [7]
Мы в ВЦСПС посылаем протоколы так: доклад, скажем, нашего секретариата - это один вопрос; доклад отдела организации производства - второй, но для ВЦСПС содержание этих докладов остается неизвестным. Зиновьева есть результат незнания ВЦСПС - схемы нашей организации и работы. Подобные доказательства того, что будто бы количество работы падает, в корне неверны. Нет, изменен темп работы, чтобы ускорить проведение тех вопросов, которые нагромождаются на каждом заседании. Это свидетельствует о том, что работы у нас выше головы, но мы разумно разделяем ее между членами нашего Центрального Комитета. Мы вынуждены не всегда заседать по каждому пункту порядка дня, а передавать его на предварительную разработку, а иногда и проводить в порядке единоличного распоряжения. [8]
С этой точки зрения, разумеется, весьма желательно превращение программирования в науку, и за 15 лет, прошедшие со дня публикации тех замечаний, которые я процитировал в начале своей лекции, мы несомненно проделали немалый путь в этом направлении. Пятнадцать лет назад мы настолько плохо понимали, что такое программирование, что даже помыслить не могли о доказательствах правильности программ; мы просто-напросто гоняли программу до тех пор, пока не убеждались, что она работает. В те времена мы не представляли даже, как достаточно строго сформулировать саму идею правильности программы. Наше новое знание о программировании дает громадную практическую отдачу, несмотря на то что лишь для небольшого числа программ реально получено строгое доказательство правильности; однако благодаря ему мы стали лучше понимать принципы построения программ. Суть в том, что теперь, когда мы пишем программу, мы уже знаем, что в принципе при желании могли бы построить строгое доказательство ее правильности, так как нам уже известно, как формулируются подобные доказательства. Этот новый научный фундамент позволяет писать программы, значительно более надежные, чем те, что мы писали раньше, когда в основе суждений об их правильности лежала только интуиция. [9]
Но довольно пока 6 традициях математической строгости. Еще раз: не следует преувеличивать представления о строгости греков. Тем более странной кажется тщательность, проявленная при рассмотрении теории параллельных. Постулат о параллельных, который мы находим у Евклида, был для древних окончательным решением проблемы, которая должна была весьма интересовать греков. На другие решения есть лишь косвенные указания, но они позволяют предположить, что греки знали об этом больше, чем содержится у Евклида, что они во всяком случае были близки к исторически столь далекой неевклидовой геометрии. Но опять-таки как в смысле математической строгости со времен Евдокса, так и в отношении оснований геометрии со времен Евклида на два тысячелетия твердо установилось традиционное содержание. Точно так же обстоит дело с геометрическим методом - всем, пожалуй, известен метод конгруэнтных треугольников, на которые фигуру разбивают вспомогательными линиями, чтобы, переходя от одного треугольника к другому, построить цепочку доказательств конгруэнтности двух величин, равенство которых нужно доказать, - последовательный метод, доходящий иногда до абсурда. Вспомните, например, классическую задачу из школьного курса геометрии: доказать, что плоскость ВС / С, проходящая через три вершины куба, смежные с данной вершиной Л, перпендикулярна диагонали куба, проведенной из вершины А. Скольких признаков конгруэнтности можно избежать, если заметить невооруженным глазом, что поворот на 120 вокруг диагонали АЕ преобразует рассматриваемую плоскость ВСК в себя, из чего и вытекает все, что требуется доказать. Еще десять или двадцать лет назад1 подобные доказательства были категорически запрещены в школе. Теперь, наконец, такие отображения, как зеркальное отражение, сдвиг, вращение, выражают последний крик моды в школьном преподавании. В творческой геометрии эти методы появились еще в XIX веке, они составляют основу новой геометрии. Но евклидовы традиции конгруэнтных треугольников еще и в нашем столетии были настолько сильны, что даже Феликсу Клейну не удалось ввести отображения в школьное преподавание в Германии. [10]