Cтраница 1
Доказательство Геделя основано на использовании числового кода, позволяющего сопоставить каждой теореме дедуктивной системы единственное и очень большое целое число. [1]
Рассмотрим теперь доказательство Геделя с несколько иной точки зрения, которая позволяет увидеть основную идею особенно ярко. [2]
В своей монографии Теория формальных систем ( 1960 г.) я рассматривал двойственную форму доказательства Геделя, а именно: что будет, если вместо высказывания, утверждающего свою недоказуемость, построить высказывание, утверждающее свою опровер-жимость. Более строго эту проблему можно сформулировать так. [3]
Исключив пессимистическое понятие о врожденной необъяснимости нашего мозга, посмотрим, какие идеи может нам предложить доказательство Геделя в отношении объяснения нашего мозга / разума. Оно дает нам понять, что взгляд на систему с точки зрения высшего уровня может позволить понять то, что на низших уровнях кажется совершенно необъяснимым. Я имею в виду следующее. Предположим, что в качестве строчки ТТЧ вам дали высказывание Геделя G. Представьте, что вам при этом ничего не известно о Геделевой нумерации. Вы должны ответить на вопрос: Почему эта строчка - не теорема ТТЧ. [4]
Я приведу решение этой задачи сразу, а не в конце главы-по существу, это решение просто повторяет доказательство Геделя. [5]
Конечно, возможность представления этого выражения в арифметическом виде далеко не очевидна, но она существует. Рассуждения, приводящие к этому заключению, составляют наиболее трудную задачу в сложной части доказательства Геделя. [6]
Шел 1959 год, я только что вернулся в Калифорнию после года, проведенного в Женеве ( где я выучил французский), и по счастливой случайности мне в руки попала тоненькая книжица Эрнста Нагеля и Джеймса Ньюмана Доказательство Геделя. [7]
Когда математики проводят свои выкладки, они не намерены постоянно проверять, могут ли они быть сформулированы посредством аксиом и правил вывода некоторой сложной формальной системы. Единственно, что необходимо - быть уверенным в правомерности использования этих рассуждений для установления истины. Доказательство Геделя удовлетворяет этому требованию, так что Р & ( &) является математической истиной с таким же правом, как и любое другое утверждение, полученное более стандартным путем с использованием изначально заданных аксиом и правил вывода. [8]
Интуитивная догадка, которая позволила нам установить, что утверждение Геделя Pjt ( fc) является на самом деле истинным, представляет собой разновидность общей процедуры, известной логикам как принцип рефлексии: посредством нее, размышляя над смыслом системы аксиом и правил вывода и убеждаясь в их способности приводить к математическим истинам, можно преобразовывать интуитивные представления в новые математические выражения, невыводимые из тех самых аксиом и правил вывода. То, как нами была выше установлена истинность Р ( А:), как раз базировалось на применении этого принципа. Другой принцип рефлексии, имеющий отношение к доказательству Геделя ( хотя и не упомянутый выше), опирается на вывод новых математических истин исходя из представления о том, что система аксиом, которую мы полагаем априори адекватной для получения математических истин, является непротиворечивой. Применение принципов рефлексии часто подразумевает размышления о бесконечных множествах, и при этом нужно быть всегда внимательным и остерегаться рассуждений, которые могут привести к парадоксам наподобие расселовского. Принципы рефлексии полностью противопоставляются рассуждениям формалистов. Если использовать их аккуратно, то они позволяют вырваться за жесткие рамки любой формальной системы и получить новые, основанные на интуитивных догадках, представления, которые ранее казались недостижимыми. В математической литературе могло бы быть множество приемлемых результатов, чье доказательство требует прозрений, далеко выходящих за рамки исходных правил и аксиом стандартной формальной системы арифметики. Все это свидетельствует о том, что деятельность ума, приводящая математиков к суждениям об истине, не опирается непосредственно на некоторую определенную формальную систему. [9]
Почему мы должны принимать доказательства Геделя и Тьюринга и в то же время сбрасывать со счетов рассуждения, ведущие к парадоксу Рассела. Первые являются более ясными и безупречными с точки зрения математики, тогда как парадокс Рассела строится на более туманных рассуждениях об огромных множествах. Но нужно признать, что различия здесь не настолько очевидны, как нам хотелось бы. Доказательство Геделя, с одной стороны, показывает, что строгий формальный подход не выдерживает критики, но с другой стороны, оно не приводит нас к абсолютно надежной альтернативе. По-моему, этот вопрос до сих пор не разрешен. [10]
При этом символы и формулы языка-объекта выступают в С. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, говорят об э л е м е н т а р н о м с и п таксисе для данной формальной системы, в противоположность синтаксису т е о р е т и ч е-ском у, в к-ром допускается рассмотрение произвольных образований. Многие достаточно сильные формальные системы могут служит. На этом факте основано доказательство Геделя теоремы о неполноте формальных систем. [11]
В чем могут заключаться эти понятия высшего уровня. Ученые и гуманисты, сторонники холизма и наличия души, давно уже предположили, что сознание невозможно объяснить в терминах составляющих мозга, - так что это, по крайней мере, один кандидат. Кроме того, существует загадочное понятие свободной воли. Возможно, что эти качества появляются неожиданно, в том смысле, что психология не в состоянии объяснить их возникновения. Но важно понять, что, руководствуясь доказательством Геделя в формировании этих смелых гипотез, мы должны довести аналогию до конца. В частности, необходимо помнить, что нетеоремность G имеет объяснение, - это вовсе не тайна. Это объяснение опирается не только на понимание отдельного уровня, но и того, как этот уровень отражает свой мета-уровень и какие от этого получаются последствия. Если наша аналогия правильна, то неожиданные явления могут быть объяснены в терминах отношений между различными уровнями в разумных системах. [12]
Аксиомы этой системы образуют рекурсивное подмножество У, которое называется аксиомами Пеано. Эти аксиомы описывают простые свойства операции взятия следующего элемента N и рекурсивное определение сложения и умножения в терминах этой операции, а также включают систему аксиом, описывающих принцип индукции на N. Понятие формального доказательства берется из исчисления предикатов первого порядка. Полное описание арифметики Пеано ( которую иногда называют формальной теорией чисел) можно найти в любом учебнике по математической логике. Для наших целей нам необходимо знать следующий важный факт об арифметике Пеано, которому посвящена существенная часть доказательства Геделя. [13]