Cтраница 1
Обычное доказательство, которое дается для комплексных переменных, применимо также в действительной области. [1]
Обычное доказательство этого для евклидовой плоскости Е использует понятие параллелизма и поэтому нуждается в некоторой модификации. [2]
Обычное доказательство предыдущей теоремы основано на свойстве ортогональности. [3]
Однако обычное доказательство здесь не применимо, так как интеграл ( 1) может сходиться только на прямой s iy, а не в полосе. [4]
Доказательство достаточности получается непосредственным обобщением обычного доказательства для случая основания Ь: мы последовательно строим требуемое представление. Доказательство необходимости разбивается на две части. Если для некоторого п число Pn i больше 2 лС Р TO Р - ц - е не допускает представления при малых к. Если Рл i 2fenc Pft для всех п, но равенство выполняется не всегда, то можно показать, что некоторое х допускает два представления. [5]
После вывода интеграла Клаузиуса говорится о втором законе термодинамики и приводится обычное доказательство теоремы Карно. [6]
Обычное доказательство, принятое в статике, может быть в точности воспроизведено и здесь. [7]
Если можно не считаться с изменениями в предельной полезности денег, то Излишек Потребителя, полученный от покупки такого большого количества товара по такой-то цене, может быть представлен с помощью треугольника Маршалла. Мне не нужно повторять обычное доказательство этой теоремы, так как версия Маршалла абсолютно обоснована, если ее принять с упомянутыми оговорками. Лучше всего принять доказательство, как утверждение того, что треугольник почти соответствует подлинному излишку потребителя. [8]
Итак, постоянные матрицы Дирака в действительности преобразуются при тетрадных поворотах, но с этими последними всегда связывают соответствующее преобразование подобия так, чтобы оба цреобразования в точности компенсировали друг друга. В этом и состоит обычное доказательство ковариантности уравнения Дирака в частной теории относительности. [9]
Чтобы доказать этот факт, известный под названием теорема Евклида, достаточно повторить обычное доказательство Евклида. Кроме того, все используемые понятия представляются рекурсивными предикатами, которые конструктивно вычислимы для цифр. [10]
Этот результат, кажется, не следует из теоремы Рис-са - Фишера, но безусловно подразумевается в обычном доказательстве этой теоремы. [11]
Заметим, что функции, о которой говорится в этой теореме, только в исключительных случаях для наиболее простых областей выражается через элементарные функции. Обычное доказательство теоремы Римана устанавливает лишь факт существования функции, но мало пригодно для приближенного хотя бы построения этой функции. [12]
По мере возрастания ( - Л) от нуля Е также возрастает. Этот факт хорошо известен в одномерном случае. В общем случае можно воспользоваться обычным доказательством с помощью теоремы Грина при условии, что все Л, с t ф и полагаются фиксированными. Когда ( - Л) достигает оо, логарифмическая производная ХЯ ( Л) бесконечна на входе - го канала. Это может произойти только при условии у и - О, так как YXu пропорциональны значению радиальной функции на входе канала. [13]
Однако при обычной теоретико-множественной трактовке не делается никакого различия между объектами, существование которых можно подтвердить с помощью некоторого потенциально осуществимого построения, и абстрактными теоретико-множественными объектами исследования. Способы установления свойств обоих типов объектов в классической математике основаны на законах логики, возникших в результате экстраполяции законов, верных для конечных совокупностей, на бесконечные множества. В области бесконечного эти законы не ориентированы на эффективное построение объектов, существование которых утверждается. Фактически такое положение дел приводит к появлению в математике так называемых теорем чистого существования, в которых утверждается существование некоторых объектов и в то же время не указывается никакого способа отыскания этих объектов. Такова, например, известная теорема классического анализа, утверждающая, что всякая непрерывная действительная функция, заданная на замкнутом ограниченном множестве, имеет максимум. Обычное доказательство этой теоремы не дает никаких указаний на метод построения искомого максимума. Это обстоятельство может и не смущать теоретико-множественно настроенного математика: он может считать, что максимум есть у всякой функции рассматриваемого класса, независимо от того, можно его отыскать в каждом частном случае или нет, есть как объект некоторого воображаемого мира ( платонист-ского мира, см. [ 6, с. Однако такой подход не удовлетворяет, если принять во внимание возможности субъекта-исследователя. Имеется ли способ отыскания максимума, и если этот способ не указан, то в каком смысле верно, что максимум существует у всякой функции рассматриваемого класса. Известно, сколь трудной является задача поиска экстремума у функций даже весьма узкого класса ( многочлены с рациональными коэффициентами от нескольких переменных), и, что существенно, указанная теорема нисколько не помогает в решении этой задачи. Заметим, что описанная выше критика классической математики не связана непосредственно с антиномиями теории множеств. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает. [14]
Таким образом, многие теоремы двумерной евклидовой геометрии справедливы и для двумерной геометрии Лобачевского. Можно пытаться проверить, какие из этих аксиом остаются верными в геометрии Лобачевского. Если бы оказалось, что все они справедливы, то можно было бы утверждать, что и все теоремы евклидовой геометрии справедливы в геометрии Лобачевского, поскольку они являются логическим следствием аксиом. Но из рис. 26 видно, что аксиома о параллельных не имеет места в геометрии Лобачевского. Поэтому теоремы, обычное доказательство которых опирается на эту аксиому, могут быть неверны в геометрии Лобачевского. Существование и непротиворечивость геометрии Лобачевского являются доказательством того, что аксиома о параллельных не может быть выведена из остальных аксиом евклидовой геометрии. [15]