Cтраница 1
Конус асимптотических направлений ( 5) представляет собой теперь пару пересекающихся плоскостей. Касательная плоскость, проведенная к параболоиду в этой точке, есть плоскость, проходящая через указанные образующие. [1]
Как мы знаем, конус асимптотических направлений поверхности ранга 1 вырождается в пару совпадающих плоскостей. Если эта поверхность имеет хотя бы один центр, то она имеет целую плоскость центров, и это тогда - единственная ее диаметральная плоскость вообще, причем асимптотический конус есть дважды взятая эта плоскость. Рассмотрим теперь поверхности ранга 1, не имеющие центров. Мы утверждаем, что диаметральными плоскостями такой поверхности служат все плоскости, параллельные плоскости асимптотических направлений, и только такие плоскости. [2]
Применяя полученные результаты к конусу асимптотических направлений, получаем, что плоскость может быть параллельна либо двум и только двум различным асимптотическим направлениям, либо одному и только одному асимптотическому направлению, либо же бесконечному множеству асимптотических направлений, причем в последнем случае поверхность имеет ранг 2 или 1 и рассматриваемая плоскость параллельна одной из плоскостей. [3]
Прямые, проходящие через центр поверхности второго порядка в ее асимптотических направлениях, называются асимптотами, а образуемый ими конус асимптотических направлений - асимптотическим конусом этой поверхности. [4]
Из теоремы предыдущего п непосредственно следует, что поверхность имеет ранг 3, если никакие три ее асимптотических направления не параллельны одной плоскости, ранг 2, если конус асимптотических направлений распадается на пару пересекающихся плоскостей, и ранг 1, если конус асимптотических направлений распадается на пару совпадающих плоскостей. [5]
Из теоремы предыдущего п непосредственно следует, что поверхность имеет ранг 3, если никакие три ее асимптотических направления не параллельны одной плоскости, ранг 2, если конус асимптотических направлений распадается на пару пересекающихся плоскостей, и ранг 1, если конус асимптотических направлений распадается на пару совпадающих плоскостей. [6]
Тем самым мы показали, что для поверхности ранга 1 всякое асимптотическое направление - особое. Вместе с тем мы снова видим, что для такой поверхности конус асимптотических направлений распадается на пару совпадающих плоскостей. [7]
Так как сами асимптотические направления не зависят от точки ( х0, у0, zQ то конусы асимптотических направлений, с точностью до произвольных параллельных переносов, совпадают; таким образом, если речь идет лишь о направлениях, можно пользоваться любым из этих конусов. [8]
Поверхность ( 1г) отличается от трех остальных как состоящая только из мнимых точек. Наконец, поверхности ( 10) и ( 13) различаются между собой тем, что у первой конус асимптотических направлений мнимый, а у последней - действительный. [9]
Таким образом, для того, чтобы определить прямолинейные образующие, проходящие через заданную неосооую точк ( лгп, УО п) достаточно провести через вершину конуса асимптотических направлений плоскость, параллельную касательной, плоскости ( 6), и определить прямые, по которым проверенная плоскость сечет конус; их направления и будут направлениями искомых образующих. [10]