Cтраница 2
Каждое из них является двойственным конусом другого. [16]
Отметим, кроме того, что двойственным конусом к замкнутому выпуклому конусу действительных симметрических положительно полуопределенных яХ я-матриц, рассматриваемых как п2 - мерные векторы, является множество действительных пХ - матриц U, таких, что yTUy 0 для всех вещественных / г-мерных векторов у. Таким образом, симметрические матрицы в двойственном конусе являются положительно полуопределенными. [17]
Когда в пространстве введено понятие скалярного произведения векторов, можно определить и понятие К. С, состоящее из векторов, скалярные произведения которых с любым вектором, принадлежащим С, - отрицательны, называется двойственным конусом. [18]
Иллюстрацией этого понятия служат рпс. Другими словами, конус К состоит из векторов р, каждый из которых составляет неострый угол с любым из векторов конуса К. Поэтому на рис. 2.11, 2.12 образующими конусов К служат лучи, перпендикулярные образующим конуса К. Предоставляем читателю доказать утверждение, что К - выпуклый конус ( см. упр. Теорема 2.7. Двойственный конус К замкнут. [19]
Пусть каждая фазовая область Xt описывается своей системой гладких равенств и неравенств. Точку x ( t) e Xt будем называть регулярной точкой множества Xt, если градиенты всех активных в точке x ( t) ограничений линейно независимы. Сформируем две матрицы At и Bt, столбцами которых служат градиенты активных в точке x ( t) ограничений-неравенств и ограничений-равенств, соответственно. Если x ( t) - регулярная точка Xt, то конус K ( x ( t), Xt) состоит из всех неотрицательных линейных комбинаций столбцов матрицы At и произвольных линейных комбинаций столбцов матрицы Bt. Иными словами, двойственный конус представляет собой сумму многогранного конуса и подпространства, порождаемого матрицами At, Bt. Используя этот факт, легко придать условиям ( Г) - ( 3) теоремы иную эквивалентную форму, использующую дополнительную информацию об описании фазовых областей. [20]