Cтраница 1
Теоретико-множественная концепция не только доставила основной в настоящее время стандарт математич. Так, чистая алгебра определяется как наука о системах объектов, в к-рых задано конечное число операций, применимых ( каждая) к определенному конечному числу объектов системы и производящих из них новый объект системы [ напр. Этим чистая алгебра отделяется от анализа и геометрии ( в собственном смысле слова, предполагающем известную непрерывность изучаемых пространств), к-рые существенно требуют введения предельных отношений, связывающих бесконечное число объектов. [1]
Дефектом перехода к теоретико-множественной концепции с элементарными событиями является то обстоятельство, что при ней неизбежно появляются непустые события, имеющие вероятность, равную нулю. Неизбежность этого пожертвования одним из естественных принципов элементарной теории вероятностей ясна уже в простейших примерах случайных величин с непрерывными распределениями. [2]
В большинстве разделов изложение материала ведется без использования теоретико-множественной концепции и поэтому отличается от принятого в настоящее время в учебниках для средней школы. К таким разделам относится прежде всего геометрия, построение которой на основе теории множеств приводит к ряду как терминологических, так и смысловых несообразностей. Поэтому геометрический материал излагается в справочнике ва основе аксиоматики Гильберта и с использованием традиционной терминологии. Кроме того, в справочнике иным способом определены вектор, числовая последовательность, определенный интеграл и некоторые другие понятия. [3]
Как бы то ни было, в духе современных теоретико-множественных концепций, придавать большое значение этой особенности аксиоматики Гильберта не стоит. Более того, переходя на теоретико-множественную точку зрения, целесообразно видоизменить эту аксиоматику и считать прямую множеством принадлежащих ей точек. При таком видоизменении понятия прямой, мы, конечно, несколько сузим класс возможных интерпретаций: те интерпретации, в которых принадлежность не является теоретико-множественной, будут уже невозможны. [4]
Математические модели иерархических систем изложены на формальном языке общей теории систем, который построен на теоретико-множественных концепциях. Основные процедуры анализа иерархических систем формируются для двухуровневой системы, включающей п подсистем первого уровня. Важно отметить, что такое двухэтажное представление иерархической системы позволяет перейти к концепции модуля иерархической системы, который затем может найти достаточно широкое применение при синтезе многоуровневых БТС. [5]
Но подлинный переворот наступил в середине века, когда математические методы стали активно вторгаться в самые различные сферы науки и практики. Оказалось, что математическая логика, которая раньше заботила лишь лиц, специально интересующихся проблемами обоснования, есть не чисто теоретическая, но и прикладная наука, тесно связанная с вычислительной математикой и всей современной кибернетикой. Оказалось, далее, что теоретико-множественная концепция, возникшая первоначально для обоснования исчисления бесконечно малых, располагает столь мощным аппаратом понятий и методов, что может не только служить фундаментом всей современной математики, по и непосредственно употребляться для описания явлений самых различных наук - от биологии до лингвистики. Все чаще представители самых различных и прежде далеких от математики областей знания обращаются к математикам с вопросом Что почитать для начала. [6]
Удовлетворительного решения вопросов оснований математики такой способ дать не может, и мы находимся здесь перед существенным затруднением. Однако содержание формализмов не обязано быть всегда теоретико-множественным. Критический пересмотр основ теории множеств принес иные, не теоретико-множественные представления, которые способны составить содержание формализмов, свободное от тех элементов теоретико-множественной концепции, которые вызывают сомнение. [7]
Советскому читателю предоставляется возможность ознакомиться5 с результатами многолетних размышлений интересного французского педагога относительно содержания курса школьной математики и построения стройной логической системы основ математических знаний. Люсьенн Феликс, ученица одного из крупнейших представителей французской математической мысли первых десятилетий нашего века Анри Лебега, довольно точно следует педагогическим идеям своего учителя. Эти идеи продолжают сохранять свежесть и в наши дни. Теоретико-множественные концепции, пронизывающие всю книгу Люсьенн Феликс, имеют в наши дни фундаментальное значение не только для теоретической математики, но и для многих физических, технических, биологических и иных научных дисциплин. Эти концепции используются не только при построении вершин науки и ее основ, но также и в педагогическом процессе. Скажу, например, что в курсах математической статистики, которые предназначены в США для агрономов и других специалистов сельского хозяйства, теоретико-множественным концепциям науки уделяется большое внимание, поскольку именно они позволяют глубже и свободнее взглянуть на реальные явления. Точно так же при построении основ теории надежности выяснилось, что без теоретико-множественного подхода не удается разумно осмыслить самые центральные ее понятия. [8]
Разрешение этого противоречия заключается в следующем. Действительно, если бы мгновенно неподвижная точка с была физически одной и той же точкой тела, говорить о ее перемещении было бы неверно. Но точка контакта качения является переменной ( обновляемой) точкой: в каждый следующий момент времени происходит замена одной физической точки с, выполняющей роль опорной, другой точкой. Переходя к теоретико-множественным концепциям, можно сказать, что в случае качения абсолютно твердых тел ( рис. 2.1, а, б; 2.3, а) множество С точек контакта состоит из одного элемента с. Но по-прежнему в соответствии с общим правилом качения это множество является обновляемым, поэтому в каждый следующий момент времени в нем происходит замена одного ( и единственного) элемента множества - другим. [9]
Первоначальный замысел Гильберта состоял в идее свести все содержательное математическое познание к финитизму и рассмотреть соответствующие математи - ческие дисциплины как описанные выше формализмы, считая, что эти формализмы уже ничего не изображают, а являются сами единственным предметом математики. В этом направлении должен был бы решиться и вопрос о возможности использования теории множеств в широком смысле для вывода суждений финитного характера. Выражая теорию множеств посредством формальных систем и исследуя вопрос о непротиворечивости этих систем, мы выяснили бы границы приложения теоретико-множественной концепции или, по крайней мере, указали бы такие пределы, в которых навер - няка противоречий не возникает. Таким образом, мы могли бы вводить употребление актуальной бесконечности и нам было бы известно, когда это возможно. На первый взгляд кажется, что препятствий к выполнению такой программы не возникает. Однако впоследствии выяснилось, что в буквальной своей постановке эта программа невыполнима. [10]
До середины XIX века алгебра чаще всего определялась как наука о решении алгебраических уравнений, Это определение стало явно несправедливым во второй половине XIX века, когда особенной высоты достигли исследования по теории групп, конечных и непрерывных, по теории полей алгебраических чисел и алгебраических функций, по гиперкомплексным числам. Вершиной алгебры в этот период считается теория Галуа, многие проблемы которой, возникшие в эти годы, надолго будут привлекать внимание исследователей. Из них наиболее ортодоксальные алгебраисты будут в течение десятилетий считать классическую проблематику теории Галуа главной Ф алгебре, и к проблемам этой области неизменно будет приписываться слово знаменитая. Тем не менее в соответствии с общим духом времени в начале XX века начинается период перестройки алгебры на теоретико-множественном и аксиоматическом фундаменте. В 20 - х годах все эти новые области алгебры получают даже наименование современной алгебры. Крупнейшей фигурой в этот период был Давид Гильберт ( 1862 - 1943), нашедший правильные пути органического соединения общих теоретико-множественных концепций и классической математики XIX века. [11]
Советскому читателю предоставляется возможность ознакомиться5 с результатами многолетних размышлений интересного французского педагога относительно содержания курса школьной математики и построения стройной логической системы основ математических знаний. Люсьенн Феликс, ученица одного из крупнейших представителей французской математической мысли первых десятилетий нашего века Анри Лебега, довольно точно следует педагогическим идеям своего учителя. Эти идеи продолжают сохранять свежесть и в наши дни. Теоретико-множественные концепции, пронизывающие всю книгу Люсьенн Феликс, имеют в наши дни фундаментальное значение не только для теоретической математики, но и для многих физических, технических, биологических и иных научных дисциплин. Эти концепции используются не только при построении вершин науки и ее основ, но также и в педагогическом процессе. Скажу, например, что в курсах математической статистики, которые предназначены в США для агрономов и других специалистов сельского хозяйства, теоретико-множественным концепциям науки уделяется большое внимание, поскольку именно они позволяют глубже и свободнее взглянуть на реальные явления. Точно так же при построении основ теории надежности выяснилось, что без теоретико-множественного подхода не удается разумно осмыслить самые центральные ее понятия. [12]