Cтраница 1
Правый R-модуль А является нетеровым тогда и только тогда, когда все его подмодули конечно порождены. [1]
Правые R-модули определяются аналогично. [2]
Правый R-модуль свободен в многообразии всех правых R-модулей тогда и только тогда, когда он обладает базой. При этом база совпадает со свободной порождающей системой. [3]
Если А - правый R-модуль, то абелевы группы A RR и А изоморфны. [4]
Тогда любой счетно порожденный правый R-модуль, вложимый в прямую степень R1, является свободным модулем. [5]
Правый R-модуль свободен в многообразии всех правых R-модулей тогда и только тогда, когда он обладает базой. При этом база совпадает со свободной порождающей системой. [6]
Нетрудно проверить, что таким образом возникает правый R-модуль W. Легко видеть, что V - подмодуль модуля W. Но тогда найдется такой номер п, что все члены этих последовательностей, начиная с ( га 1) то, равны пулю. [7]
ЛЕММА 6.2. Пусть R - кольцо, М - правый R-модуль и N - локально свободный левый R-модуль. [8]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Если все правые идеалы некоторого кольца свободны, то все подмодули любого свободного правого R-модуля также свободны. [9]
Все минимальные правые идеалы простой линейной алгебры R с единицей изоморфны друг другу как правые R-модули. [10]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.1. Пусть R - правое кольцо Оре, К - его тело частных, М - правый R-модуль. [11]
Пусть R С S - такое расширение колец ( не обязательно коммутативных), что R выделяется прямым слагаемым в правом R-модуле S. [12]
Вывести отсюда, что если R - левое и правое кольцо Оре с телом частных К, а М - конечно порожденный правый R-модуль, то решетка замкнутых подмодулей из М изоморфна решетке Lai % ( M K) и поэтому является модулярной. [13]
Пусть а-бесконечный кардинал и R-кольцо, в котором все правые идеалы, порожденные не более чем а элементами, являются свободными модулями. Тогда в любом свободном правом R-модуле все подмодули, порожденные не более чем а элементами, также свободны. [14]
Тогда класс % п всех п-несвязанных правых R-модулей содержит все свободные модули и замкнут относительно подмодулей, произвольных прямых произведений ( и, следовательно, произвольных обратных пределов и прямых сумм) и расширений. Аналогичное утверждение выполняется для класса несвязанных модулей. [15]