Cтраница 2
Следует заметить, что согласно нижеследующей геореме (31.2), которую мы уже неоднократно упоминали, все геодезические кривые в пространстве эллиптического типа имеют одинаковую длину, так что приведенная выше формулировка не содержит дополнительного условия. [16]
В частности, в этом случае при в1 О (29.2) превращается в уравнение геодезических, a ( t) - в геодезическую кривую. Подчеркнем, что, используя прямые производные в среднем, можно определить и другие стохастические аналоги геодезических, по-видимому, не имеющие прямого гидродинамического смысла. [17]
Одним из следствий принципа наименьшей кривизны является утверждение, что несвободная материальная точка, движущаяся по некоторой гладкой поверхности, при отсутствии активных сил описывает геодезическую кривую. Это было доказано в § 225 первого тома. Принцип наименьшей кривизны обобщает ряд результатов, полученных при рассмотрении динамики точки. [18]
Рассмотрим движение материальной точки по поверхности сферы. Геодезическими кривыми на поверхности сферы являются, как известно, дуги больших кругов. Кинетическим фокусом для произвольной точки на поверхности сферы является диаметрально противоположная ей точка. В этом случае смысл условий существования экстремума действия на отрезке MiMz траектории точки очевиден. [19]
Известно, что при отсутствии силового поля точка движется по геодезической кривой. Такими геодезическими кривыми в данном случае являются дуги больших кругов. [20]
Уравнения ( IV.215 a) и ( IV.215 b) показывают, что вектор v при движении материальной точки остается параллельным и не изменяет своего модуля во внутренней системе координат на поверхности. Следовательно, материальная точка движется равномерно по геодезической кривой, так как только эта кривая, прямейшая кривая на поверхности, имеет касательные, параллельные друг другу во внутренней системе координат относительно поверхности. [21]
DVv в точке р есть X. Здесь открытое множество U cr R берется в качестве естественной области определения геодезической кривой. Очевидно, ysX ( 0 - Yx ( st) и экспоненциальное отображение определяется формулой ехр ( X) Yx ( l) - Эт отображение в 7W определено на некоторой открытой окрестности W cz Т ( М) нулевого сечения. Кроме того, ехр является гладким отображением. [22]
Много раз Игорь Евгеньевич обсуждал с нами методику рентгенографических экспериментов и промежуточные результаты, помогал отыскать геодезическую кривую, которая позволяет исследователю при наименьшем числе опытов получить максимум информации. Хотя вся его сознательная жизнь была посвящена теоретической физике, он с большой легкостью и высокой активностью вместе с нами осваивал физику взрыва. [23]
Материальная точка без действующей силы движется, таким образом, по неизменной поверхности по геодезической линии с постоянной скоростью. Начальное состояние определяет траекторию, ибо через определенную точку с определенной касательной на поверхности существует только одна геодезическая кривая. [24]
Кривые, обладающие этим свойством, называются геодезическими. Таким образом, если на точку, движущуюся по поверхности, активные силы не действуют, то точка движется по геодезической кривой с постоянной по величине скоростью. [25]
Допустим, что касательные во всех точках этой кривой между собой параллельны. Ее называют также геодезической кривой. [26]
Здесь и далее под пространством следует понимать четырехмерный пространственно-временной континуум. Итак, свойства физического пространства должны исключить необходимость введения силовых полей. В этом случае материальная точка должна двигаться по инерции, описывая геодезическую кривую. [27]
Первое уравнение этой системы утверждает, что движение точки по поверхности равномерное. Из третьего уравнения следует, что геодезическая кривизна траектории равна нулю. Следовательно, если на точку не действуют активные силы и поверхность Р - идеально гладкая, точка М движется равномерно по геодезической кривой. [28]
Если на точку не действуют активные силы, то точка будет двигаться по геодезической кривой g, образующей с меридианом угол i ( рис. 166), причем движение происходит с постоянной по величине скоростью. Единственной силой, действующей на точку, будет сила нормальной реакции поверхности N, направленная ортогонально к поверхности. [29]
В отличие от длины пути энергия существенно зависит от параметризации. Но энергия имеет много общего с длиной пути. По ряду причин, как это будет видно в дальнейшем, энергия оказывается более удобным функционалом, чем длина. Например, энергия гладко зависит от пути, а для длины это не всегда верно. Кроме того, она отличает геодезическую от других параметризаций той же геодезической кривой. [30]