Cтраница 2
Первый луч проводим так, чтобы он составлял с осью абсцисс угол, тангенс которого равен аг. Делим расстояние тп пополам, получаем точку В. Точки А и В соединяем прямой. Эта прямая является кусочком искомой интегральной кривой. [16]
Первый луч проводим так, что он составляет с осью абсцисс угол, тангенс которого равен ах. Делим расстояние тп пополам, получаем точку В. Точки А и В соединяем прямой. Эта прямая и представляет собой кусочек искомой интегральной кривой. [17]
Для этого необходим о так проводить параллельные у ступени, чтобы заштрихованные отрезки справа и слева имели одинаковые площади. Выравнивание производится на-глаз, или если чертеж сделан на миллиметровой бумаге, что всегда желательно, - путем сосчитывания квадратиков. В параболах выравнивающая прямая пересекает горизонтальную линию через середину хорды на - / 3 расстояния до параллельной касательной. Этот многоугольник является многоугольником касательных к искомой интегральной кривой с точками соприкосновения Р) А, Р2, РЗ. Сама интегральная кривая вычерчивается посредством лекала, если нужно при помощи параболической интерполяции ( см. стр. [18]
При решении прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений оказывается необходимым найти не столько общий интеграл уравнения, как его частный интеграл, удовлетворяющий некоторым добавочным условиям. В случае уравнения второго порядка общий интеграл содержит две произвольные постоянные; для их определения достаточно двух условий. Например, если нам известны значения функции при двух значениях независимого переменного ( граничные условия), то отсюда обычно можно определить обе произвольные постоянные. Геометрически это равносильно заданию двух точек, через которые должна проходить искомая интегральная кривая. [19]
При решении прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений оказывается необходимым найти не только общий интеграл уравнения, но также и его частный интеграл, удовлетворяющий некоторым добавочным условиям. В случае уравнения второго порядка общий интеграл содержит две произвольные постоянные; для их определения достаточно двух условий. Например, если нам известны значения функции при двух значениях независимого переменного ( граничные условия), то отсюда обычно можно определить обе произвольные постоянные. Геометрически это равносильно заданию двух точек, через которые должна проходить искомая интегральная кривая. [20]
В случае уравнения второго порядка общий интеграл содержит две-произвольные постоянные; для их определения достаточно двух условий. Например, если нам известны значения функции при двух значениях независимого переменного ( граничные условия), то отсюда обычно можно определить обе произвольные постоянные. Геометрически это равносильно заданию двух точек, через которые должна проходить искомая интегральная кривая. [21]
Во многих практических задачах, приводящих к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, на первом плане стоит проблема получения результата с гарантированной точностью. Объем вычислений при этом учитывается не как первостепенный фактор. Решение этой проблемы значительно упрощалось бы, если бы были построены вычислительные методы, которые позволяют одновременно находить два приближенных решения данной задачи Коши, соответствующие значения которых в рассматриваемых точках расположены по разные стороны от истинного значения искомого решения. Задача о построении таких методов издавна привлекала внимание математиков. Еще в начале этого столетия С. А. Чаплыгиным, например, были разработаны основные принципы построения одного из двусторонних методов. Метод Чаплыгина принадлежит к группе аналитических методов и позволяет строить на каждом отрезке интегрирования две последовательности кривых, приближающих сверху и снизу искомую интегральную кривую данного уравнения. Правда, этот метод накладывает довольно сильные ограничения на правую часть дифференциального уравнения и, кроме того, он трудно реализуется при работе на ЭВМ. Мы остановимся здесь на рассмотрении методов несколько иного типа, которые не являются строго двусторонними и обеспечивают приближение к искомому значению точного решения с разных сторон лишь в смысле главного члена погрешности. Однако, в отличие от метода Чаплыгина, эти методы принадлежат к группе численных методов, легко реализуются на ЭВМ и являются более универсальными. [22]