Cтраница 2
Если исходная кривая гладкая и выпуклая, то двойственная кривая тоже гладкая, если же исходная кривая имеет точку перегиба, то на двойственной кривой ей соответствует точка возврата ( ряс. [16]
Если, как в нашем примере, это условие всегда выполнено, мы можем ( в принципе) записать уравнение G ( dY / dX, X, Y) - О локально в виде dY / dX g ( X, Y), найти его решения и, перейдя к двойственным кривым, получить интегральные кривые функции F в параметрическом виде. [17]
Для изучения двойственной кривой вблизи точек, где касательная не параллельна оси х2, одинаково хорошо подходят оба отображения р Ht из упр. Выпишите уравнение касательной к у в точке t и покажите, используя отображение / 1 - (, - Я), что эта касательная отвечает точке б ( /) ( - / О. [18]
В результате мы остановились на следующих сюжетах: геометрия плоских и пространственных кривых, огибающие однопараметрических семейств кривых и поверхностей, эволюты, двойственные кривые и поверхности, касание, видимые контуры поверхностей, каустики, множества симметрии, отображения плоскости в плоскость и геометрия общего положения плоских и пространственных кривых - свойства, выполняющиеся для почти всех кривых. Даже если эти названия не много вам говорят, мы надеемся, что, просмотрев наудачу несколько рисунков, вы убедитесь в потенциальной увлекательности этих сюжетов. [19]
Все такие поверхности, имеющие асимптотическую кривую с точкой бесконечного типа, образуют в пространстве поверхностей множество коразмерности бесконечность. Поэтому в дальнейшем мы предполагаем ( не всегда оговаривая это особо), что наши кривые конечного типа. Двойственная кривая кривой конечного типа в проективном пространстве лежит в двойственном проективном пространстве и образована соприкасающимися гиперплоскостями исходной кривой. [20]
Точкам перегиба исходной кривой соответствуют точки возврата двойственной кривой. Действительно, если / - ж3, то касательная к графику в точке х t задается координатами р 3.2, z 2.3. Эти соотношения определяют на плоскости с координатами ( р, z) кривую с точкой возврата. Итак, двойственная кривая имеет 8 точек возврата, по две между каждыми последовательными самопересечениями. [21]
Есть разные способы доказать это. Один состоит в том, чтобы использовать соответствующий результат для двойственных кривых ( упр. [22]
Гладкие кривые в R, близкие к плоским выпуклым кривым, имеют не менее четырех точек уплощения. Чтобы дать контактную формулировку этого утверждения ( в духе лежандровой теории Морса-Чеканова), было бы полезно понять, до насколько больших деформаций сохраняются четыре точки уплощения. Достаточно ли, чтобы оставались тривиальными ( незаузленно вложенными) в процессе деформации как исходная, так и двойственная кривая. [23]
Для гладкой кривой на проективной плоскости можно определить проективно двойственную ей кривую. Для этого в каждой точке кривой проводится касательная, а затем все эти прямые рассматриваются как точки двойственной проективной плоскости. Та же самая конструкция позволяет построить для гиперповерхности в проективном пространстве проективно двойственную ей гиперповерхность. Двойственная кривая ( гиперповерхность) не зависит от евклидовой структуры - это очень важно. [24]