Cтраница 1
Кривизна пространственной кривой определяется аналогично кривизне плоской кривой. [1]
Q есть кривизна пространственной кривой. [2]
Введем обозначения: RKP-радиус кривизны пространственной кривой в произвольной точке М; гкр - радиус кривизны ортогональной проекции кривой на плоскости хОу в точке т, являющейся проекцией точки М на ту же плоскость; р, ф - соответственно углы наклона к плоскости хОу касательной прямой и соприкасающейся плоскости в точке М кривой. [3]
Скалярный множитель К 0 называется кривизной пространственной кривой. [4]
Величину k R 1 называют кривизной пространственной кривой. [5]
Вектор ш носит название полного вектора кривизны пространственной кривой. [6]
Для того, кто не освоился с употребленными здесь аналитическими соотношениями, касающимися главной нормали и радиуса кривизны пространственной кривой, можно вывести приведенные выше математические положения также следующим, более геометрическим путем. [7]
По аналогии с центром кривизны для плоской кривой как предельным положением точки пересечения двух нормалей ( рис. 297) получаем ось кривизны пространственной кривой как-предельное положение прямой пересечения соседних нормальных плоскостей. В этом предельном положении ось кривизны параллельна бинормали, пересекаясь с главной нормалью, ось кривизны дает центр кривизны, откуда получаем радиус кривизны как расстояние от этого центра до рассматриваемой точки кривой. Так же, как для плоской кривой, кривизна пространственной равна обратной величине радиуса кривизны. [8]
Аналогично можно показать, что х20 есть кривизна плоской кривой в плоскости ( е30, е10), следовательно, в общем случае пространственной кривой х20 и х30 - проекции кривизны пространственной кривой на плоскостях, определяемые векторами ( бзо. Рассмотрим, частный случай кривой - прямую. [9]
Если вместо угла между касательными, как это имело место для плоских кривых, и отношения между этим углом и длиной дуги между точками касания взять угол между соприкасающимися плоскостями ( он равен углу между бинормалями) и разделить этот угол на длину между рассматриваемыми точками пространственной кривой, то в предельном значении этого отношения получается так называемая кривизна кручения или вторая кривизна пространственной кривой. Вспомним, что пространственные кривые иначе называются кривыми двоякой кривизны. [10]
Если вместо угла между касательными, как это имело место для плоских кривых, и отношения между этим углом и длиной дуги между точками касания взять угол между соприкасающимися плоскостями ( он равен углу между бинормалями) и разделить этот угол на длину дуги между рассматриваемыми точками пространственной кривой, то в предельном значении этого отношения получается так называемая кривизна кручения или вторая кривизна пространственной кривой. Вспомним, что пространственные кривые иначе называются кривыми двоякой кривизны. [11]
Две эти плоскости пересекутся по прямой п, которая называется нормалью. На ней находится центр кривизны соприкасающейся окружности, которая определяет кривизну пространственной кривой в точке А. [12]
Пусть кривизна k регулярной пространственной кривой r ( s) обращается в нуль в конечном числе точек. Предположим, что на кривой есть гладкое векторное поле n ( s) такое, что в тех точках, где k 0, оно совпадает либо с n ( s), либо с - n ( s), где n ( s) - главная нормаль кривой. Доказать, что тогда формулы Френе будут верны и в точках, где k 0, но при этом кривизна пространственной кривой может оказаться знакопеременной. [13]