Cтраница 2
Это векторное поле ( вида, уже известного из векторного исчисления или механики жидкости) на соответствующем многообразии или подмножестве пространства R, поток которого совпадает с однопараметрической группой, им порожденной. Можно представлять себе, что вся группа симметрии порождается таким же способом композициями базисных потоков ее инфинитезимальных образующих. Таким образом, главное, что требуется усвоить из гл. Другой ключевой результат - инфинитезимальный критерий инвариантности системы алгебраических уравнений относительно такой группы преобразования, выраженный в теореме 2.8. С этими двумя инструментами можно прямо погружаться в материал, относящийся к дифференциальным уравнениям, начиная с § 2.2 и возвращаясь к дальнейшим результатам по группам Ли или многообразиям по мере необходимости. [16]
Мощь теории групп Ли заложена в решающем наблюдении, что сложные нелинейные условия инвариантности подмножества или функции относительно самих преобразований из группы можно заменить эквивалентным линейным условием инфините-зимальной инвариантности относительно соответствующих ин-финитезимальных образующих действия группы. Этот инфини-тезимальный критерий легко проверяется на практике и, таким образом, дает ключ к явному отысканию групп симметрии систем дифференциальных уравнений. Мы начинаем с более простого случая инвариантной функции. Здесь инфинитезимальный критерий инвариантности следует непосредственно из основной формулы, описывающей, как меняется функция под действием потока, порожденного векторным полем. [17]