Cтраница 1
Уравнение ау vP с тремя неизвестными а, ( 5, у над А имеет решение а ху, ( 5 ух, у ( xy) kx, где х, ( / - произвольные слова из А, а k 0 ( см упр. [1]
Тогда размерность подпространства решений системы уравнений Ау О равна п - г. Полученное выше равенство показывает, что градиенты функции / в произвольных точках из Rn принадлежат ортогональному дополнению ( п - г) - мерного подпространства. Таким образом, среди этих градиентов имеется не более г линейно независимых векторов. [2]
Заменой xz у решение этого уравнения сводится к решению квадратного уравнения ау Ьу с 6 и затем двух двучленных уравнений х у1 и х - уг, где yt и у2 - корни соответствующего квадратного уравнения. [3]
Теорема 2.12. Для того, чтобы вектор у удовлетворял уравнению Ау 0, необходимо и достаточно, чтобы вектор у был ортогонален всем собственным векторам оператора А с отличными от нуля собственными значениями. [4]
Этот общий принцип в каждом отдельном случае по-разному применяется. Во-первых, может случиться, что сопряженное однородное уравнение Ау 0 совсем не имеет решений, кроме тождественно равного нулю. В этом случае мы не получаем никакого условия совместности, что означает, что заданная система ( 5) совместна при любых значениях правой части. Во-вторых, возможно, что сопряженное однородное уравнение Ау 0 имеет одно и только одно решение ( не считая тривиального решения у 0), определенное с точностью до произвольного множителя ввиду однородности уравнения. В этом случае вектор правой части заданного уравнения должен удовлетворять одному условию совместности: быть ортогональным решению сопряженного однородного уравнения. В-третьих, может случиться, что сопряженное однородное уравнение Ау О имеет несколько независимых решений. В этом случае вектор правой части заданного уравнения должен быть ортогонален каждому из этих независимых решений. [5]
Этот общий принцип в каждом отдельном случае по-разному применяется. Во-первых, может случиться, что сопряженное однородное уравнение Ау О совсем не имеет решений кроме тождественно равного нулю. В этом случае мы не получаем никакого условия совместности, что означает, что заданная система ( 5) совместна при любых значениях правой части. Во-вторых, возможно, что сопряженное однородное уравнение Лу 0 имеет одно и только одно решение ( не считая тривиального решения у 0), определенное с точностью до произвольного множителя ввиду однородности уравнения. В этом случае вектор правой части заданного уравнения должен удовлетворять одному условию совместности: быть ортогональным решению сопряженного однородного уравнения. В-третьих, может случиться, что сопряженное однородное уравнение Ау 0 имеет несколько независимых решений. В этом случае вектор правой части заданного уравнения должен быть ортогонален каждому из этих независимых решений. [6]
Этот общий принцип в каждом отдельном случае по-разному применяется. Во-первых, может случиться, что сопряженное однородное уравнение Ау 0 совсем не имеет решений, кроме тождественно равного нулю. В этом случае мы не получаем никакого условия совместности, что означает, что заданная система ( 5) совместна при любых значениях правой части. Во-вторых, возможно, что сопряженное однородное уравнение Ау 0 имеет одно и только одно решение ( не считая тривиального решения у 0), определенное с точностью до произвольного множителя ввиду однородности уравнения. В этом случае вектор правой части заданного уравнения должен удовлетворять одному условию совместности: быть ортогональным решению сопряженного однородного уравнения. В-третьих, может случиться, что сопряженное однородное уравнение Ау О имеет несколько независимых решений. В этом случае вектор правой части заданного уравнения должен быть ортогонален каждому из этих независимых решений. [7]
Этот общий принцип в каждом отдельном случае по-разному применяется. Во-первых, может случиться, что сопряженное однородное уравнение Ау 0 совсем не имеет решений, кроме тождественно равного нулю. В этом случае мы не получаем никакого условия совместности, что означает, что заданная система ( 5) совместна при любых значениях правой части. Во-вторых, возможно, что сопряженное однородное уравнение Ау 0 имеет одно и только одно решение ( не считая тривиального решения у 0), определенное с точностью до произвольного множителя ввиду однородности уравнения. В этом случае вектор правой части заданного уравнения должен удовлетворять одному условию совместности: быть ортогональным решению сопряженного однородного уравнения. В-третьих, может случиться, что сопряженное однородное уравнение Ау О имеет несколько независимых решений. В этом случае вектор правой части заданного уравнения должен быть ортогонален каждому из этих независимых решений. [8]
Этот общий принцип в каждом отдельном случае по-разному применяется. Во-первых, может случиться, что сопряженное однородное уравнение Ау О совсем не имеет решений кроме тождественно равного нулю. В этом случае мы не получаем никакого условия совместности, что означает, что заданная система ( 5) совместна при любых значениях правой части. Во-вторых, возможно, что сопряженное однородное уравнение Лу 0 имеет одно и только одно решение ( не считая тривиального решения у 0), определенное с точностью до произвольного множителя ввиду однородности уравнения. В этом случае вектор правой части заданного уравнения должен удовлетворять одному условию совместности: быть ортогональным решению сопряженного однородного уравнения. В-третьих, может случиться, что сопряженное однородное уравнение Ау 0 имеет несколько независимых решений. В этом случае вектор правой части заданного уравнения должен быть ортогонален каждому из этих независимых решений. [9]