Cтраница 1
Ортогональное дополнение подпространства определяется так же, как в евклидовом пространстве. Точно так же можно доказатьг что ортогональное дополнение будет подпространством дополнительной размер ности. [1]
Ортогональное дополнение подпространства определяется так же, как в евклидовом пространстве. Точно так же можно доказать, что ортогональное дополнение будет подпространством дополнительной размерности. [2]
Обозначим теперь через У ортогональное дополнение подпространства Y. Y скалярное произведение jx равно пулю. [3]
Однако, как видно из (9.6) и (0.7), ортогональное дополнение подпространства G0 в L2 ( a, P) состоит из функций-констант, поэтому А0 является функцией-константой. Поскольку [ а, Р ] - произвольный промежуток, содержащийся в а, Ь, то и А есть функция-константа. [4]
Теорема 16.12. Пусть R - евклидово векторное пространство, А - его подпространство и В - ортогональное дополнение подпространства А. Тогда В есть подпространство, представляющее собой дополнение подпространства А. В свою очередь А есть ортогональное дополнение подпространства В. [5]
В этой главе используются следующие основные понятия: скляр-ное умножение, евклидово пространство, унитарное ( эрмитово) пространство, длина ( норма) вектора, угол между векторами, матрица Грама, ортогональная и ортонормированная системы векторов, ортонормированный базис, базис, биорто г опальный данному базису, ортогональное дополнение подпространства, ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора, процесс орто-гонализации, QR-разложение матрицы, объем k - мерного параллелепипеда, угол между вектором и подпространством, угол между двумя подпространствами. [6]
Следствие Пусть Е - n - мерное евклидово пространство, X - его k - мерное подпространство. Тогда ортогональное дополнение Y подпространства X в Е является ( п - k) - мерным подпространством. [7]
Заметим, что переход к ортогональным дополнениям подпространств стандартным образом ( мера множества равна мере его прообраза) переносит меру с борелевских множеств многообразия GrCH fc, к - И) на борелевские множества Gr ( ft l, tt - к 4), полученная мера / инвариантна относительно замен знаков координат, и на множестве полной меры подпространство находится в общем положении. [8]
Теорема 16.12. Пусть R - евклидово векторное пространство, А - его подпространство и В - ортогональное дополнение подпространства А. Тогда В есть подпространство, представляющее собой дополнение подпространства А. В свою очередь А есть ортогональное дополнение подпространства В. [9]
Как мы помним, линейное дополнение подпространства L линейного пространства Ln определяется неоднозначно. В линейном пространстве над полем R с фиксированным базисом существует простой алгоритм построения одного из линейных дополнений подпространства L. Он состоит в том, что сначала вводят скалярное произведение, считая данный базис ортонормированным, а затем строят ортогональное дополнение L подпространства L - оно и является искомым линейным дополнением. [10]
Напомним, что если в линейном пространстве V фиксирована симметричная билинейная форма А, то элементы х, у G V, для которых А ( х, у) 0, называют ортогональными относительно А. Аналогично подпространства V, V2 С V называют ортогональными, если А ( х, у) 0 для любых х G V, у G Vi. Если форма А невырождена, то для таких YI, V2 пересечение V П Vi состоит лишь из нуля. Ортогональным дополнением подпространства V С V относительно А называется подпространство Vi С V, состоящее из тех у Е V, для которых А ( х, у) 0 при всех х G V. Если форма А - вырожденная, то у подпространства V и его ортогонального дополнения Vi пересечение может оказываться подпространством ненулевой размерности. [11]
В диссертации М. И. В и ш и к а, результаты которой частично опубликованы [1, 2], метод ортогональных проекций применен к уравнениям эллиптического типа. Грубо говоря, этот метод заключается в следующем. Расматривается некоторая краевая задача для дифференциального уравнения в частньх производных. Строится гильбертово пространство Н, в котсрсм подпрсстранство Нг элементов - решений данного уравнения представляет ортогональное дополнение подпространства Нг элементов с нулевыми краевыми условиями. Если в Н существует элемент, удовлетворяющий данным краевым условиям, то его проекция на H. [12]
У реальной молекулы есть 6 степеней свободы, собственные частоты для которых равны нулю. Их называют нулевыми модами. Чтобы сразу не учитывать нулевые моды, рассмотрим колебательное ( или осцилляторное) представление. Для этого надо перейти в Згг - 6-мерное подпространство, которое является ортогональным дополнением 6-мерного подпространства нулевых мод. Практически выписать такие матрицы не всегда просто, но нам и не нужны сами матрицы. [13]