Cтраница 1
Линия Жордана называется гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную. [1]
Геометрически линия Жордана, очевидно, представляет множе - ство точек плоскости, являющееся взаимно однозначным и непрерывным отображением прямолинейного отрезка. Как показал Жордан, непрерывная замкнутая линия без кратных точек делит плоскость на две разные области: одну, не содержащую бесконечно удаленной точки, называемую внутренней по отношению к данной линии, другую, содержащую бесконечно удаленную точку и называемую внешней по отношению к данной кривой. Для обеих этих областей данная линия является границей. Мы будем предполагать, что вышеуказанное положительное направление на линии выбрано так, что внутренняя часть кривой лежит слева от точки z ( t), движущейся в этом направлении. Замкнутую линию Жордана геометрически мы можем рассматривать как взаимно однозначный и непрерывный образ окружности. Действительно, не уменьшая общности, мы можем положить ос - О, Р 2тг и рассматривать параметр t как аргумент точки окружности. Область, лежащая внутри замкнутой линии Жордана обладает одним замечательным свойством: какую бы замкнутую непрерывную линию мы ни провели в этой области, ее внутренняя часть также принадлежит данной области. [2]
Геометрически линия Жордана, очевидно, представляет множество точек плоскости, являющееся взаимно однозначным и непрерывным отображением прямолинейного отрезка. Как показал Жордан, непрерывная замкнутая линия без кратных точек делит плоскость на две разные области; одну, не содержащую бесконечно удаленной точки, называемую внутренней по отношению к данной линии, другую, содержащую бесконечно удаленную точку и называемую внешней по отношению к данной кривой. Для обеих этих областей данная линия является границей. Мы будем предполагать, что вышеуказанное положительное направление на линии выбрано так, что внутренняя часть кривой лежит слева от точки г ( t), движущейся в этом направлении. Замкнутую линию Жордана геометрически мы можем рассматривать как взаимно однозначный и непрерывный образ окружности. Действительно, не уменьшая общности, мы можем положить а О, ( 3 2я и рассматривать параметр t как аргумент точки окружности. Область, лежащая внутри замкнутой липни Жордана, обладает одним замечательным свойством: какую бы замкнутую непрерывную линию мы ни провели в этой области, ее внутренняя часть также принадлежит данной области. [3]
Понятие линии Жордана - непрерывный след движения точки - интуитивно очень естественно. Хорошо вжившись в него, можно ощутить драму открытия кривых Пеано, зачерчивающих целиком квадрат. [4]
G, ограниченной линией Жордана, на внутренность единичного круга Т границы S и S областей G и Т отображаются взаимно однозначно и непрерывно. [5]
Если С - произвольная спрямляемая линия Жордана, то множество чисел с, для которых прямая х с игле. С, есть множество меры пуль по Лебиу. [6]
Если С - произвольная спрямляемая линия Жордана, то множество чисел с, для которых прямая х с имеет бесконечно много точек, общих с кривой С, есть множество меры нуль по Лебегу. [7]
О есть область плоскости z, ограниченная линией Жордана S; допустим, что функция w - f ( z) отображает взаимно однозначно и конформно эту область на внутренность единичного круга плоскости да с окружностью S. Тогда посредством той же функции w f ( z) границы S и S преобразовываются друг на друга взаимно однозначно и непрерывно. [8]
Действительно, пусть к / ( /), у - в 0 o - i / sji) - уравнения спрямляемой линии Жордана С, где / и д - нсп. Число k ( с), которое показывает, как часто функция / ( /) в интервале а г t b принимает значение с, равно в этом случае числу общих точек прямой х с с кривой С, По доказанной в этом пункте лехме функция k ( с) суммируема, и, значит, множество чисел с, для которых k ( с) - - со, имеет меру нуль. [9]
Мы уже отметили, что часть плоскости, лежащая внутри произвольной замкнутой линии Жордана, есть односвязная область, границей которой служит эта линия Жордана. Рассматривая области, границы которых состоят из нескольких замкнутых линий Жордана, мы будем иметь примеры многосвнзных областей. [10]
Мы уже отметили, что часть плоскости, лежащая внутри произвольной замкнутой линии Жордана, есть односвязная область, границей которой служит эта линия Жордана. Рассматривая области, границы которых состоят из нескольких замкнутых линий Жордана, мы будем иметь примеры многосвязных областей. [11]
Действительно, пусть х f ( t), у - g ( t) ( a; t; V) - уравнения спрямляемой линии Жордана С, где / и g - непрерывные функции с ограниченным изменением. Число k ( с), которое показывает, как часто функция f ( t) в интервале я 6 принимает значение с, равно в этом случае числу общих точек прямой х с с кривой С. По доказанной в этом пункте лемме функция k ( с) суммируема, и, значит, множество чисел с, для которых k ( с) оо, имеет меру нуль. [12]
У о) и ( гс0), р ( яь г / 0 гг ( о) ( s0 хг), и соединим их линией Жордана, лежащей в О2, обозначая на ней через ( х2, у2) точку с наибольшей абсциссой х2 хг. L, исходящая из ( х2, г / 2), на которой х х2 и зс - - оо. [13]
Таким образом, в случае, когда каждой точке окружности в силу конформного отображения г ф ( w) соответствует одна граничная точка области G, граница области G представляет непрерывную кривую S. G есть область плоскости г, ограниченная линией Жордана S; допустим, что функция w f ( г) отображает взаимно однозначно и конформно эту область на внутренность единичного круга плоскости ш с окружностью S. [14]
Однако, в 1890 г. итальянский математик Пеано показал, что среди непрерывных кривых Жордана есть кривые, заполняющие квадрат, в частности они имеют бесконечную длину. Те линии Жордана, для которых можно определить длину, были названы спрямляемыми. [15]