Cтраница 1
Нераспадающаяся линия второго порядка может быть или эллипсом, или гиперболой, или параболой. Эллипс и гипербола имеют центр, а парабола не имеет. ПОЭТОМУ упрощение уравнений эллипса и гиперболы удобно начать с переноса начала в центр. Можно заранее узнать, к какому из этих трех типов принадлежит линия второго порядка. Соответствующий признак дан в § 67, в § 68 уточняется понятие центра и в § 69 объяснено, как найти координаты центра. В § 70 объяснен способ упрощения уравнений эллипса и гиперболы. [1]
Нераспадающаяся линия второго порядка может быть или эллипсом, или гиперболой, или параболой. Эллипс н гипербола имеют центр, а парабола не имеет. ПОЭТОМУ упрощение уравнений эллипса и гиперболы удобно начать с переноса начала в центр. Можно заранее узнать, к какому нз этих трех типов принадлежит линия второго порядка. Соответствующий признак дай в § 67, в § 68 уточняется понятие центра и в § 69 объяснено, как найти координаты центра. [2]
Полюсы и поляры относительно нераспадающейся линии второго порядка. [3]
По отношению к нулевой нераспадающейся линии второго порядка, очевидно, все вещественные точки - внешние. [4]
Доказать, что поляра центра нераспадающейся линии второго порядка, лежащей на проектннно-аффипной юскостн, есть несобственная прямая. [5]
Доказать, что если п нераспадающуюся линию второго порядка вписан треугольник, то прямая, полярно сопряженная с одной из его сторон, пересекает две другие стороны в полярно сопряженных точках. [6]
Из каждой точки Ру не лежащей на нераспадающейся линии второго порядка ( 1), можно провести к этой линии две и только две касательные. [7]
Пусть точки А и В полярно сопряжены относительно нераспадающейся линии второго порядка. Пусть прямая, проходящая через точку В, пересекает эту линию в точках Р и Q, a АР и AQ пересекают линию вторично в точках R и S. Доказать, что точки R, S и В лежат на одной прямой. [8]
Доказать, что если полный четырехугольник вписан в нераспадающуюся линию второго порядка, то его диагональный треугольник является автонолярпым для рассматриваемой ЛИНИИ. [9]
Доказать, что любые два треугольника, вписанные в действительную нераспадающуюся линию второго порядка, являются автополярными при некотором поляритете. [10]
Если все образующие параллельны, так что рассматриваемая поверхность второго порядка есть цилиндрическая поверхность, то направляющей ее служит, очевидно, нераспадающаяся линия второго порядка. [11]
Коррелятивное преобразование, при котором каждая прямая переходит в ту точку, которая переходит в эту прямую ( и, следовательно, также каждая точка - в ту прямую, которая переходит в эту точку), называется инволютивным. Очевидно, поляг итет есть инволютивное коррелятивное преобразование. Можно показать, что, и обратно, каждое инволютивное коррелятивное преобразование есть поляритет относительно некоторой нераспадающейся линии второго порядка. [12]
Полюсы и поляры относительно нераспадающейся линии второго порядка. Так как такая линия не обладает двойными точками, то каждая точка будет иметь относительно линии ( 1) определенную поляру. С другой стороны, так как ранг нераспадающейся линии второго порядка равен трем, то и каждая прямая будет иметь относительно линии ( 1) определенный полюс. [13]
Внешние и внутренние точки относительно нераспадающейся вещественной линии второго порядка. Если линия ( 1) - вещественная и нераспадающаяся, а Р - вещественная точка, не лежащая на этой линии, ю поляра р точки Р относительно линии ( 1) будет также вещественной, и потому точки Qi и Q2 пересечения этой поляры р с линией ( 1) будут либо вещественными, либо мнимыми и притом комплексно сопряженными, В первом случае прямые PQi и PQ2 очевидно, будут вещественными. Во втором случае эти прямые будут мнимыми. Действительно, если бы PQ1 была вещественной прямой, то, содержа точку Qi, она должна была бы содержать и комплексно сопряженную ючку Q2; тем самым точка Р лежала бы на своей поляре Q Q % и, значит, согласно лемме 2, должна была бы лежать на линии ( 1), в противоречие с предположением. Совершенно аналогично докажем, что и PQ % - мнимая прямая. Поэтому заключаем, что касательные к вещественной нераспадающейся линии второго порядка, проведенные из вещественной точки Р, не лежащей на этой линии, либо обе вещественные, либо обе мнимые. В первом случае точка Р называется внешней по отношению к линии ( 1), во втором - внутренней. [14]