Cтраница 1
Современная математическая логика значительно усовершенствована и дополнена алгеброй высказываний и алгеброй логики. [1]
Современная математическая логика представляет собой обширный и разветвленный раздел математики. В настоящее время разработаны приложения математической логики к другим разделам математики, а также к кибернетике и программированию. [2]
Такие системы естественно вписываются в построения современной математической логики и несут поэтому на себе все ее характерные черты. Суть дела здесь состоит в следующем. [3]
Данная работа посвящена модальной логике разделу современной математической логики, который бурно развивался в последние 20 лет и который, по-видимому, гораздо удобнее для изучения естественного языка, чем классическая логика. [4]
В соответствии с универсально признанными в современной математической логике взглядами следует считать функцию ф частично рекурсивной. [5]
В заключение настоящего введения нужно отметить, что современная математическая логика представляет соб. [6]
Настоящая книга представляет собой си стоматическое изложение ряда разделов современной математической логики и теории алгоритмов. Написана она в целью использо-ва ТШя ее в преподавании как в качестве учебника по математической логике для университетов, так и в качестве учебного пособия при чтении спецкурсов. [7]
Естественно, что в книге не затронуты многие направления современной математической логики. Некоторые темы лишь намечены, для них приведены лишь самые первоначальные понятия и результаты. Так, например, аксиоматическая теория множеств ( § 7 части II) занимает мало места, хотя в действительности все задачи из части 1 могут быть решены в рамках теории ZF. [8]
В качестве примера можно вспомнить о судьбе многочисленных идей Лейбница, который, по словам Винера, был предшественником кибернетики, и, как теперь признается многими - предвестником также и современной математической логики, семиотики, новейшей лингвистики. Большинство наиболее заме чательных мыслей Лейбница частично оставались в рукописи еще долгое время после его смерти, и лишь недавно - больше, чем через 200 лет после его смерти - были изданы и изучены во нсем объеме. Сходная судьба характерна и для наследия другого предшественника семиотики - американского логика Перса. [9]
Ввиду учебного характера книги, несмотря на названия Теория множеств, Теория моделей, Теория доказательств и Алгорит-мы и рекурсивные функции, соответствующие главы, конечно, содержат лишь малую часть содержания этих больших разделов современной математической логики. Как и принято в учебниках, большинство результатов приведено в данной книге без указания авторов. [10]
Благодаря этому родилось новое направление, названное математической логикой. Современная математическая логика исследует соотношения между различными понятиями, суждениями и умозаключениями. Эти соотношения описываются с помощью символических формул подобно тому, как в математике определяются соотношения между числами и величинами. Такая формализация логических операций способствует анализу мыслительной деятельности человека и открывает новые широкие возможности обработки самой разнообразной информации. [11]
Лукасевича к трудам таких историков логики, как Прантль и Майер. Прантль был гегельянцем, он нередко допускал такие интерпретации Аристотеля, к которым следует относиться критически. Что он не знал современной математической логики, с этим, конечно, легко согласиться, и по данному пункту никто не будет спорить с Лукасевичем, - ведь Прантль писал об Аристотеле более ста лет назад. Но ведь и Аристотель не знал современной математической логики, тем не менее он является отцом и основоположником логики как науки; в качестве такого основоположника его прежде всего и следует изучать, не модернизируя его, как это порой делает Лукасевич. [12]
В приложении к сочинению своего отца Тентамен Янош Бойяи доказал, что утверждение о единственной параллельной, проходящей через точку вне прямой, и утверждение о нескольких параллельных не противоречат остальным аксиомам и что Евклид имел право поместить XI постулат среди прочих аксиом геометрии. Заменив XI постулат его отрицанием ( постулатом о неединственной прямой, которую можно провести через точку, лежащую вне прямой, параллельно этой прямой), мы получили бы неевклидову геометрию Лобачевского - Бойяи. Современная математическая логика пошла еще дальше. Ее выдающийся представитель Курт Гедель доказал, что пятно на творении создателя, о котором упоминал Фаркаш Бойяи, является свойством - присущим любой системе аксиом. Ни одна система аксиом не полна, в каждой системе всегда можно сформулировать утверждение, которое в рамках данной системы нельзя будет ни доказать, ни опровергнуть. [13]
Гораздо более спорная проблема состоит в том, каков объем семейства объектов исследования в математике. Традиционная математика имеет дело с множествами, функциями, свойствами, отношениями. Но какую совокупность множеств следует рассматривать, чтобы обеспечить всю математику. Современная математическая логика все еще очень далека от точной постановки этого вопроса, а тем более от его решения. Имеется широкий спектр точек зрения на эту важную проблему. С некоторыми из них читатель может познакомиться в книге: Френкель А. [14]
Лукасевича к трудам таких историков логики, как Прантль и Майер. Прантль был гегельянцем, он нередко допускал такие интерпретации Аристотеля, к которым следует относиться критически. Что он не знал современной математической логики, с этим, конечно, легко согласиться, и по данному пункту никто не будет спорить с Лукасевичем, - ведь Прантль писал об Аристотеле более ста лет назад. Но ведь и Аристотель не знал современной математической логики, тем не менее он является отцом и основоположником логики как науки; в качестве такого основоположника его прежде всего и следует изучать, не модернизируя его, как это порой делает Лукасевич. [15]