Cтраница 1
Любой математик содрогнулся бы, увидев эту процедуру: в выражении (3.3.14), полученном лишь для натуральных значений п, совершается переход к совершенно недопустимому пределу - к нулю. В данном случае неприменимо понятие аналитического продолжения, поскольку такое продолжение может осуществляться лишь на некоторую сплошную область конечных размеров, а не в отдельную точку. [1]
Прикладные вопросы математики должны были бы составлять около четверти математического образования любого математика, ибо весьма важно иметь уравновешенный общий взгляд на науку, в которой работают. Еще более важно, чтобы преподаватели математики в школе были в достаточной мере знакомы с этими вопросами, поскольку именно с этой стороны дети начинают познавать математику. [2]
Любой математик при изучении интуиционистских работ скоро научается распознавать, что интуиционизм признает правильным, а что - нет. [3]
Итак, индекс - это некоторая средняя из индивидуальных индексов цен. Но любой математик может предложить неограниченное количество формул, применяемых для нахождения среднего. [4]
Моим последним примером является одна сложная теорема высшего анализа. Все же любой математик, признающий важность результата, должен попытаться, не останавливаясь на деталях, усмотреть основную идею ее доказательства): эта смелая идея принесла блестящие успехи. [5]
Такими словами явно или неявно обычно начинаются формулировки теорем и условий математических задач. Затем на языке строго определенных математических понятий следует полное изложение исходных предпосылок, которое воспринимается одинаково любым математиком, являющимся специалистом в соответствующей области. [6]
Континуум-гипотеза интересна еще и потому, что сам Гедель, совместно с Полом Дж. Коэном, показал, что эта гипотеза в действительности не зависит от стандартных аксиом и правил теории множеств. Таким образом, отношение любого математика к континуум-гипотезе позволяет причислить его к сторонникам либо формалистской, либо платонистской точки зрения. Для формалиста данная гипотеза будет недоказуемой, поскольку ее справедливость не может быть установлена или опровергнута, если опираться на стандартную ( построенную Цермело и Френкелем) формальную систему, и, значит, не имеет смысла называть ее ни истинной, ни ложной. Однако, для убежденного платониста эта гипотеза является либо истинной, либо ложной, хотя какой именно - это можно установить только путем рассуждений некоторого нового типа, идущих еще дальше, чем использование геделевских утверждений для формальной системы Цермело-Френкеля. [7]
Первые алгоритмические языки появились в конце 50 - х - начале 60 - х годов. В отличие от машинных языков ЭВМ с их трудно воспринимаемой цифровой формой записи команд, алгоритмические языки более наглядны. Они используют привычную математическую символику и другие легко воспринимаемые изобразительные средства. Фразы этих языков состоят из нужных формул, записанных в обычном, понятном любому математику виде, и из нескольких стандартных терминов на английском языке. Важным достоинством алгоритмических языков является их универсальность и наличие международного стандарта, они совершенно не зависят от конкретного типа машины, для которой предназначена написанная программа. Программист, работающий на алгоритмическом языке, может вообще не знать систему команд машины, ему не нужно переучиваться при переходе с одной машины на другую. [8]
Это верно, что такие слова, как математика, язык, искусство, применяются в двояком смысле. Искусство - это понятно; существует завершенное-искусство, которое - изучает история искусств, и существует искусство, которое творят художники. Подобно этому, можно говорить о языке, хотя это и не кажется столь очевидным; филологи всякий раз подчеркивают это. То, что наряду с завершенной математикой существует математика как вид деятельности, понимает неосознанно любой математик, но лишь немногие это осознают; а так как это редко подчеркивают, то нематематики ничего не знают об этом. [9]
Передо мной учебные планы германских университетов на зимний семестр 1932 - 1933 гг. Возьмите любой университет, например Геттинген-ский, и вы поймете, что я имею в виду. К учебной работе привлекается дополнительно лишь несколько преподавателей; им доверены вводные занятия по греческому языку и рисованию, музыке, стенографии и фехтованию. Штатные же преподаватели и профессора ведут многочисленные курсы, о содержании которых можно судить по их названиям: богословие Нового Завета, римское гражданское право, общая патология, история государств Средиземноморья до Помпея8, философия эпохи эллинизма, теория электричества и магнетизма, коллоидная химия, дифференциальные уравнения в частных производных. Ядро цикла математических дисциплин составляет ряд систематических курсов повышенного уровня охватьшающих значительную часть математики и образующих основу подготовки любого математика. Такие курсы не могли бы быть предложены в американском колледже в силу их слишком высокого уровня; в весьма ограниченном объеме встречаются они и в программе наших аспирантов, которые имеют слишком узкую специализацию лишь по тому предмету, по которому впоследствии собираются вести свою исследовательскую работу. Впрочем, в пользу германской системы университетского образования можно было бы сказать и многое другое. [10]
Материал, собранный в этой главе и рассчитанный на обширную категорию читателей, обычно не излагается целиком в основном курсе линейной алгебры и геометрии по тривиальной причине отсутствия аудиторного времени. Вместе с тем полезно ознакомиться хотя бы с некоторыми приложениями математического аппарата, развитого в основном тексте. Собственный студенческий опыт автора показывает, что такого рода выходы за пределы обязательного минимума развивают естественное любопытство. На тот же эффект рассчитан и последний параграф, где приведены некоторые нерешенные задачи. На самом деле их гораздо больше: они постоянно возникают в процессе творческой деятельности любого математика. [11]
Но не всегда практическую задачу удается отнести к какому-либо математическому типу. Иногда возникают задачи, совершенно не похожие на уже встречавшиеся. Ключ к их решению может быть найден совершенно случайно. Они даже могут напомнить какую-нибудь задачку, решенную на досуге. В подобном случае такая задача может лечь в основу новой крупной теории. Впрочем, эта доктрина, как и все доктрины, может привести к заблуждениям. Человек может потратить всю свою жизнь на решение пустяковых задач, теша себя надеждой, что они, возможно, станут началом новых областей математики И так, конечно, может случиться; все зависит от умения определить, что может оказаться важным, и нет правила, которое позволило бы судить о правильности выбора. Любой математик согласится, что существуют теории, которые до сих пор не нашли практического применения, но чувствуется, что они являются очень важной частью математики. Работа над ними свидетельствует не об отходе от главного направления, а как раз об обратном - о борьбе за развитие математики. Когда-нибудь эти теории, подобно эллипсу, найдут своего Кеплера и, подобно тензорному анализу, своего Эйнштейна. Но, во всяком случае, ими подготовлен мощный аппарат для решения определенного класса задач, если возникнет такая необходимость. [12]
Несколько раньше я уже упоминал, что практическая ценность проективной геометрии заключается не в ее непосредственном применении для аэрофотосъемки или для черчения, а в том влиянии, которое она оказывает на другие области математики. Можно привести немало примеров этого влияния; в некоторых случаях потребовались бы длинные объяснения. По-видимому, дифференциальные уравнения - это область математики, которая находит наиболее широкое применение у инженеров и ученых. Каждый, кто занимался этим предметом, помнит, насколько разобщенным он кажется; одно уравнение решается одним методом, другое уравнение - другим методом; бесчисленно количество типов уравнений, которые необходимо запомнить, бесчисленно количество методов решения. Замечание, довольно несправедливое по отношению к ботанике, которая, в конце концов, имеет целью классификацию, а не просто сбор образцов. Сейчас имеется теория, разработанная Софусом Ли ( 1842 - 1893), которая устанавливает единый принцип, лежащий в основе всех типов дифференциальных уравнений; эта теория показывает, почему они решаются именно используемыми методами. Несомненно, эта теория очень важна для любого математика, который хочет помочь практикам и показать, как решаются различные типы дифференциальных уравнений. Не случайно Софус Ли был геометром. Его идеи, оказавшиеся столь эф-фективнь Тми для дифференциальных уравнений, обязаны своим возникновением вопросам, тесно связанным с проективной геометрией. [13]