Cтраница 1
Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. [1]
Если посмотреть на историю математики последнего столетия, то в ней найдется огромное количество примеров числовых систем, элементы которых допускают разложение на неприводимые. [2]
Быть может, понятие группы является наиболее характерным для математики XIX столетия. [3]
Даже многие годы холодной войны и железного занавеса не смогли ни заслонить от всего мира величие гения Колмогорова, ни преуменьшить его роль в развитии всей математики XX столетия. [4]
Если гильбертовская аксиоматика направлена в историческое прошлое геометрии и преследует цель дать математически корректное обоснование геометрии в духе Евклида ( с выходами з неевклидову, неархимедову геометрию и др.); если, далее, аксиоматика, базирующаяся на свойствах движений ( Клейн, Шур и др.), отказывается от принятия конгруэнтности ( треугольников) в качестве первоначального понятия и использует для обоснования геометрии групповой подход, являющийся прогрессивным завоеванием математики XIX столетия, - и тем самым направлена на современные научные направления, то вейлевскую аксиоматику можно рассматривать как направленную в будущее. Более того, такой подход к аксиоматике позволяет устранить разрыв между школьной математикой, вузовской математикой и современной математической наукой. [5]
Математиками XVIII столетия - Эйлером, Бернулли, Клеро и другими-были достигнуты в этом направлении основные результаты, которые и излагаются в настоящее время в элементарных курсах по интегрированию дифференциальных уравнений. [6]
То, что вся эта система воззрений не могла быть сохранена, так как при любой попытке точного формулирования обнаруживала внутренние логические противоречия - в наши дни ясно, конечно, каждому. Однако и математики XVIII столетия, по крайней мере многие из них, ясно понимали недоброкачественность логической базы, на которой строилось новое учение. [7]
Когда математики XIX столетия бросили вызов аксиомам Евклида и разработали неевклидову геометрию, основанную на других предположениях, они считали, что повлияют на многие вопросы наиболее глубоким способом: сегодня - история и форма Вселенной скорее соответствует неевклидовой геометрии, чем геометрия здравого смысла Евклида. Но переворот, произведенный Коперником, не только изменил отношение к аксиоме, но и в конечном счете повлек за собой новый подход к природе. [8]
Бернулли ( 1667 - 1748) к знаменитейшим математикам XVII столетия, и, максимально конденсируя выкладки, я показывал, что в однородном поле силы тяжести среди плоских кривых брахистохроной является циклоида. [9]
И однако было большим счастьем для всего развития математики то, что обстоятельства сложились именно так и что противоположное, критическое направление в математике появилось только в XVIII столетии. Это течение, которое в XIX столетии постепенно завоевало господствующее положение в науке, взяло верх только в той стадии развития математики, когда оно уже не могло препятствовать этому развитию, но, наоборот, обосновывало достигнутые уже результаты и способствовало получению новых. Но потребность в такой критической разработке и в обосновании достигнутого постепенно усилилась в такой степени, что полное удовлетворение этой потребности должно по праву считаться одним из крупнейших успехов математики XIX столетия. [10]
Описывая дискуссию, мы неоднократно подчеркивали, что она происходила в широких рамках споров о принципах теории множеств и математики вообще и что споры о парадоксах занимали относительно большое место в рассмотренной математической литературе. Это соответствует фактическому положению вещей. Тем не менее, на наш взгляд, было бы ошибочным заключать отсюда, что, например, споры о парадоксах были важнее, нежели обсуждение аксиомы выбора. С парадоксами теории множеств и логики дело пока обстоит чуть ли не так же, как с зенонов-скими апориями: о них много пишут, но реального продвижения не заметно. Напротив, прямое отношение к спорам именно об аксиоме выбора имеет, пожалуй, самый главный результат развития математики XX столетия - вывод о множественности математик. [11]
Открытие Дифференциальнаго Исчисления составляет без сомнения самую блистательную эпоху в летописях точных наук, даже, можно сказать, в истории успехов ума че-ловеческаго. От времен Архимеда и Аполлония, величайших геометров древности, до самаго Декарта, не встречаем ни одного открытия, которое Сы значительно расширило пределы знаний математических. В начале XVII века знаменитый Французский философ произвел счастливый переворот в Геометрии, введя в нее формулы аналитический; Смот. Недостаточность новаго способа обнаруживалась преимущественно в изысканиях, в которых надлежало уловить отношения изменяющихся по известному закону величин в то самое мгновение, когда эти величины исчезают. Многия пошатни для решения такого разряда задач из Геометрии кривых, были предложены математиками XVII столетия; удовлетворитель-нейший опыт в этом роде был способ для проведения касательных к кривым, придуманный Английским математиком Барро-ым ( Barrow), наставником Ямотона. Мы упоминаем о способе проведения касательных потому что этот вопрос, по всей вероятности, привел к изобретению Дифференциальнаго Исчисления. [12]