Cтраница 2
Значение параметра 1К ( 1) задает уровень печати результатов: при 1К ( 1) X) печатаются параметры I я п матрицы наблюдений X и собственные числа выборочной ковариационной матрицы; при IK ( 1) 5s 1 печатается также массив собственных векторов, а при 1К ( 1) 2 - матрица наблюдений, пересчитанная в базис собственных векторов. [16]
Итак, любая матрица А соответствует линейному преобразованию Т, Собственные значения этого линейного преобразования инвариантны относительно замены базисов. Если собственные значения различны, то в базисе собственных векторов матрица линейного преобразования диагональна. Таким образом, базис собственных векторов выглядит наиболее естественным базисом для представления произвольной матрицы, и мы покажем, как привести произвольную матрицу с различными характеристическими числами к диагональному виду. Эти результаты особенно полезны при рассмотрении функций от матрицы. [17]
На втором этапе осуществляется предварительная обработка материала программными средствами данного комплекса. Этот этап нужен только для реализации алгоритмов кусочно-линейной аппроксимации и для алгоритма линейной аппроксимации с выбором аргумента в базисе собственных векторов ковариационной матрицы. Если же аргументы выбираются из числа исходных параметров, второй этап опускается: предварительное преобразование данных не требуется. [18]
Итак, любая матрица А соответствует линейному преобразованию Т, Собственные значения этого линейного преобразования инвариантны относительно замены базисов. Если собственные значения различны, то в базисе собственных векторов матрица линейного преобразования диагональна. Таким образом, базис собственных векторов выглядит наиболее естественным базисом для представления произвольной матрицы, и мы покажем, как привести произвольную матрицу с различными характеристическими числами к диагональному виду. Эти результаты особенно полезны при рассмотрении функций от матрицы. [19]
К первой группе относятся алгоритмы построения линейной оценки регрессии или нахождения значений линейной функции в заданных точках. Одновременно с построением оценки регрессии осуществляется выбор оптимальной совокупности параметров, для которых восстановленная зависимость при заданном ограниченном материале обучения обеспечивает наиболее точную аппроксимацию истинной зависимости. Выбор оптимального набора аргументов может проводиться либо из числа исходных входных параметров, либо в новом представлении данных. Это представление получается переходом к базису собственных векторов ковариационной матрицы исходных параметров. [20]
При реализации алгоритмов кусочно-линейной аппроксимации восстанавливаемой зависимости на этом этапе программа ТАКСОН строит таксонную структуру пространства входных параметров. Результат записывается на внешний носитель в файл таксоны и служит для дальнейшей работы комплекса. Основной массив данных сохраняется без изменения. В случав построения линейной оценки регрессии с выбором аргументов в базисе собственных векторов ковариационной матрицы обработка данных осуществляется с помощью программы СОВА. Эта программа строит ковариационную матрицу входных параметров, вычисляет ее собственные векторы и собственные числа и определяет координаты входных векторов в новом базисе. Преобразованные данные записываются на внешний носитель в файл данные вместо исходных. Одновременно на тот же внешний носитель записываются координаты собственных векторов. Последняя запись позволяет в дальнейшем - вернуться к представлению оценки регрессии в исходном пространстве параметров. [21]
Каждому диагональному блоку си порядка 1 из Cj поставлены в соответствие собственное значение у - и собственный вектор et, / - и единичный вектор. Но eir очевидно, является также соответствующим собственным вектором диагональной матрицы Вг. В диагональной матрице В, диагональному блоку С порядка т 1 соответствует диагональный блок порядка т вида KI; итак, каковы бы ни были соответствующие собственные векторы С ]; они будут собственными векторами Bt. Отсюда Bj и Сх ( а следовательно, и В и С) имеют общий базис собственных векторов и лемма полностью доказана. [22]
Применим индукцию по размерности п пространства V. Тогда подпространство eJ - инвариантно относительно А, поэтому можно рассмотреть ограничение А на это подпространство. Поэтому, дополнив вектор е до ортопормированного базиса пространства F, получим, что ограничение оператора А на подпространство ех тоже является эрмитовым ( унитарным) оператором. Следовательно, по предположению индукции для оператора А существует ортонормированпый базис собственных векторов. [23]