Cтраница 1
Определение симплектического базиса предусматривает упорядоченность базисных векторов. [1]
Из определения симплектического базиса следует, что любой базисный вектор косоортогонален всем остальным векторам этого базиса, кроме одного, который называется ему сопряженным. В частности, любой вектор косоортогонален самому себе. [2]
Покажите, что применение оператора 2F к симплектическому базису сводится к взаимной перестановке всех сопряженных базисных векторов и изменению знака одного из них. [3]
Согласно общей теории квадратичных форм [1] любой базис вполне изотропного подпространства может быть дополнен до симплектического базиса всего пространства. [4]
Из леммы 3 вытекает, что совокупность симплектических преобразований действительно образует группу, так как преобразование, обратное к симплектическому, также невырожденное и симплектическое. Из доказанного выше следует также, что симплек-тическое преобразование переводит любой симплектический базис снова в симплектический. Верно и обратное: если некоторое линейное преобразование переводит некоторый симплектический базис в сиплектический, то преобразование является симплектическим. Следовательно, любые два симплектических базиса могут быть совмещены симплектическим преобразованием. [5]
Из леммы 3 вытекает, что совокупность симплектических преобразований действительно образует группу, так как преобразование, обратное к симплектическому, также невырожденное и симплектическое. Из доказанного выше следует также, что симплек-тическое преобразование переводит любой симплектический базис снова в симплектический. Верно и обратное: если некоторое линейное преобразование переводит некоторый симплектический базис в сиплектический, то преобразование является симплектическим. Следовательно, любые два симплектических базиса могут быть совмещены симплектическим преобразованием. [6]