Cтраница 1
Базисность пучков этого класса непосредственно следует из определения диагонального пучка. [1]
В общем случае условие базисности набора N выглядит несколько сложнее. Граф ( М, Л /) может быть не связным. [2]
В следующем пункте будут указаны усиления свойства базисности со скобками. [3]
Теперь мы можем применить к оператору А признаки базисности, изложенные в пп. [4]
Детальное исследование поведения функции Грина обычно проводят при исследовании полноты, базисности собственных функций оператора. [5]
В главе III Спектральная теория операторов рассматриваются прежде всего вопросы полноты и базисности систем функций. В § 1 доказаны различные критерии полноты м базисности ( например, теорема Банаха о базисе), изучено важное понятие би-ортогональной системы. В § 2 доказаны три теоремы о самосопряженных операторах - о их приведении к диагональному виду, а именно спектральные теоремы. Сначала доказывается спектральная теорема для операторов в я-мерном пространстве, затем для линейных вполне непрерывных операторов и ограниченных операторов. Изучается спектр таких операторов. Имея в виду приложения, в § 3 Аналитические методы в спектральной теории операторов развивается необходимый материал теории функций комплексного переменного. Сочетание результатов и методов теории операторов и теории аналитических функций сильно расширяет возможности приложений абстрактных результатов. В § 3 изучаются элементарные свойства абстрактных векторнозначных и операторнозначных функций, аналитически зависящих от комплексного параметра, а также исследуются пучки операторов. [6]
Грина в биортогональный ряд по собственным и присоединенным функциям, а также проблема их базисности. Позже было показано ( см. [26], [27]), что для нерегулярных задач равносходимость с тригонометрическим рядом не имеет места. [7]
Мы приведем здесь принадлежащее В. Б. Лидскому [50] определение свойства системы f / корневых векторов оператора L с дискретным спектром ( или вполне непрерывного оператора А), промежуточное между полнотой и базисностью со скобками. [8]
Настоящая глава посвящена спектральной теории операторов в гильбертовом и банаховых пространствах Важнейшими задачами этой теории являются утверждения о приведении изучаемых операторов к так называемому диагональному виду - спектральные теоремы, утверждения о полноте и базисности собственных векторов операторов, о свойствах спектра и собственных значениях. Наиболее изученным классом операторов являются вполне непрерывные операторы и их подклассы - ядерные операторы и операторы Гильберта-Шмидта. [9]
К сожалению, мы не имеем возможности хотя бы кратко остановиться на вопросах, касающихся осцилляционных матриц и интегральных ядер и их применения при изучении осцилляционных свойств решений дифференциальных уравнений произвольного порядка; теории ганкелевых операторов и связанной с ней серией задач интерполяции и продолжения в теории функций; аппроксимации функций; базисности в банаховых пространствах; теории возмущений самосопряженных операторов и др. Отметим лишь, что здесь Марку Григорьевичу тоже принадлежат результаты первостепенного значения. [10]
В главе III Спектральная теория операторов рассматриваются прежде всего вопросы полноты и базисности систем функций. В § 1 доказаны различные критерии полноты м базисности ( например, теорема Банаха о базисе), изучено важное понятие би-ортогональной системы. В § 2 доказаны три теоремы о самосопряженных операторах - о их приведении к диагональному виду, а именно спектральные теоремы. Сначала доказывается спектральная теорема для операторов в я-мерном пространстве, затем для линейных вполне непрерывных операторов и ограниченных операторов. Изучается спектр таких операторов. Имея в виду приложения, в § 3 Аналитические методы в спектральной теории операторов развивается необходимый материал теории функций комплексного переменного. Сочетание результатов и методов теории операторов и теории аналитических функций сильно расширяет возможности приложений абстрактных результатов. В § 3 изучаются элементарные свойства абстрактных векторнозначных и операторнозначных функций, аналитически зависящих от комплексного параметра, а также исследуются пучки операторов. [11]
Вместе эти два обстоятельства означают, что А - очень слабое возмущение самосопряженного оператора AR. Для слабых возмущений самосопряженных операторов имеются теоремы о базисности ( см. § 35), которыми мы и воспользуемся. [12]
Кроме гого, приводится также решение более общей задачи о нахождения всех линейных непрерывных отображений пространства Ая в себя, перестановочных с кратным обобщенным дифференцированием. Ар, что оказывается важным в дальнейшем при нахождении условий квазистепенной базисности и полноты некоторых специальных систем аналитических функций. [13]
Этот метод является дальнейшим развитием идей, примененных при исследовании самосопряженных задач. Предложена новая трактовка собственных и присоединенных функций, что позволило отказаться от конкретного вида граничных условий; рассмотрены общие обыкновенные дифференциальные операторы или пучки таких операторов и установлены необходимые п достаточные условия базисности собственных и присоединенных функций таких операторов, а также критерии равносходимости. [14]
Вторая глава, посвященная интерполяции в пространствах измеримых функций, занимает большое место в книге. Она может читаться независимо от первой главы, из которой нужны лишь простейшие определения. В гла - е содержатся: теорема, описывающая все интерполяционные пространства между Lt и /, и теорема, являющаяся дальнейшим развитием теоремы Марцинкевича. Изложение доводится до конкретных приложений, например, к теории ортогональных рядов: изучаются свойства сходимости рядов Фурье и базисности системы функций. Кроме того, в главе содержится большой вспомогательный материал по теории функций, который мало осисщен в литературе. Детально изучаются убывающие перестановки измеримых функций, исследуются симметричные в смысле Е. М. Семенова функциональные пространства ( в иностранной литературе близкие пространства называются перестановочно инвариантными) и, в частности, пространства Лоренца и Марцинкевича. [15]