Cтраница 1
Регулярная мера полностью определена своими значениями на замкнутых ( или открытых) множествах. [1]
Будучи регулярной мерой в шаре, мера Лебега определена на всех ограниченных борелевских множествах, и каждое измеримое по мере Лебега ограниченное множество есть объединение борелевского множества и множества меры нуль. [2]
Носителем регулярной меры ц называют замкнутое множество supp ц, дополнительное к объединению всех открытых множеств нулевой меры. [3]
Пусть известны значения регулярной меры па всех замкнутых подмножествах пространства S. Тогда оно известно на всех борелевских множествах. [4]
Мы показали, что значения регулярной меры на произвольных компактных множествах однозначно определяются ее значениями на бэровских множествах. Отсюда, в силу теоремы б § 51, вытекает последнее утверждение доказываемой теоремы. [5]
Алгебра А, на которой определена регулярная мера, есть наименьшая а-алгебра, содержащая все открытые множества и множества меры нуль. [6]
Пусть на Q задана конечная счетно аддитивная непрерывная и регулярная мера, причем все замкнутые множества измеримы. Систему составим из множеств, мера которых ( если их трактовать как некоторые подмножества множества Q) совпадает с мерой всего Q. [7]
Рассмотрим вопрос о том, какие множества являются измеримыми по регулярной мере. [8]
Мы будем в основном интересоваться радоновскими мерами, но наш первый результат относится к регулярным мерам. [9]
Тогда оказывается, что все измеримые множества образуют а-алгебру, на которой Hk является регулярной мерой. [10]
Определение, тг - Мерной мерой Лебега называется функция множества, принимающая на всех промежутках значения, равные их объему, и являющаяся регулярной мерой в каждом шаре. [11]
В силу теоремы § 2 настоящей главы, эта мера может быть распространена на все множества борелевского корпуса, а затем при помощи аксиомы V и на любые множества, как регулярная мера Каратеодори-Лебега. [12]
Примером регулярной меры является Лебега мера. [13]
Так как утверждение, очевидно, справедливо для открытых множеств и сохраняет свою силу для множеств, получаемых из открытых операциями сложения и умножения, то оно справедливо для всех множеств измеримых В. Наконец, из аксиомы V непосредственно следует, что для регулярной меры внешняя мера любого множества Л ( ЦЛ равна нижней границе мер открытых множеств, заключающих А. [14]
Строго говоря, если функции Q и ц разрывны, то мы должны были бы писать в равенстве (1.1) внутренние ( или внешние) следы этих функций. Однако это не имеет значения, так как существует достаточный набор областей G и интервалов ( t ], 12) таких, что функции у и Q аппроксимативно непрерывны на существенных границах множеств GX ( t ], t2), почти всюду по трехмерной мере. При этом под достаточным набором множеств мы понимаем такую систему множеств, что из равенства нулю регулярной меры на всех этих множествах следует, что она равна нулю на всех борелевских множествах. [15]