Cтраница 1
Спектральные меры, локально выпуклые пространства и порядок. [1]
Если спектральные меры F к F имеют плотности / / ( Я. [2]
Это означает, что спектральные меры d iy абсолютно непрерывны. Поскольку множество таких ф плотно, спектр на ( а, Ь) чисто абсолютно непрерывный. [3]
Рассмотрим еще некоторые свойства спектральных мер. [4]
Наконец, теория спектрального представления развита для обобщенных спектральных мер. [5]
В статье Шефера [11] аналогичные результаты получены в более алгебраической ситуации; в ней спектральные меры рассматриваются как непрерывные гомоморфизмы алгебры С ( X) в А. [6]
Заметим для математиков-теоретиков, что в Примечаниях и дополнениях содержится масса идей, - предоставляющих широкий простор для дальнейших исследований. Кроме того, много предстоит еще сделать в теории счетно аддитивных спектральных мер на общих римановых поверхностях. Некоторые разделы теории кратностей, принадлежащей Бейду, наводят на мысль о возможности построения теории спектральных представлений, аналогичной теории Вейля - Кодаиры, для граничных задач в Lit хотя техническая сторона такой теории может оказаться очень трудной. Одной из наиболее увлекательных задач, о которой, по-видимому, пока ничего неизвестно, является выяснение природы операторов, резольвента которых имеет порядок роста выше первого при приближении к каждой точке кривой и к которым применимы варианты основных теорем главы XVI, относящиеся к неограниченным операторам; такие операторы возникают при описании ряда естественных явлений. [7]
Элементы этого пространства должны совпадать со своими характеристиками. Итак, всякое - пространство может быть реализовано в виде пространства спектральных мер. Для пространств FQ такое умножение совпадает с обычным умножением функций, если в качестве слабой единицы выбрана функция, тождественно равная единице. [8]
При этом также развивается теория и для операторов, которые могут быть не определены на всем пространстве. Краткий обзор этих исследований и некоторых тесно примыкающих к ним работ будет дан ниже в пункте Спектральные меры, локально выпуклые пространства и порядок. Третье ( но не совершенно отличное от предыдущих) направление представлено глубокими исследованиями Коложоары и Фойаша по теории разложимых и обобщенных спектральных операторов. [9]
Это полярное разложение было также получено Коважиковой [1], которая занималась представлением спектральной меры данного оператора в виде произведения спектральных мер сомножителей. [10]
Исходя из этих результатов, Маккарти и Цафрири [1] показали, что если ЭЕ - дополняемое подпространство в / - пространстве, 1 р сС оо, то булева алгебра, порожденная двумя коммутирующими ограниченными булевыми алгебрами проекторов, ограничена. Таким образом, сумма и произведение коммутирующих спектральных операторов в дополняемом подпространстве Ж Ьр-пространства, 1 р оо, являются также спектральными операторами; как отмечалось выше, это верно, если Ж С ( К) - ( Этот результат не противоречит примеру Какутани, так как C ( S) gC ( T) не является дополняемым подпространством ни в каком Loo-пространстве. С другой стороны, доказано, что операторы скалярного типа в Loo-пространстве имеют чрезвычайно специальный вид: их спектральные меры конечны. [11]
Остальная часть этого параграфа посвящена различным применениям предыдущих теорем и следствий ( а также их обобщений на неограниченные операторы; см. ниже теорему 8 и следствие 9) к конкретным операторам. Наш план состоит в следующем. Сначала мы докажем эти неравенства для интегральных операторов ( см. ниже лемму 5), что довольно просто, ибо здесь все сводится к оценкам норм ядер интегральных операторов. Затем, используя полученные неравенства, мы применим теорему 1 к поучительному, хотя и несколько искусственному случаю: к к операторам умножения на функции, спектральные меры которых абсолютно непрерывны относительно двумерной меры Лебега. Теоремой 10 заканчивается элементарная, иллюстративная часть этого параграфа. [12]