Cтраница 1
Теорема Амицура оставляет открытыми два вопроса: являются ли алгебры простой степени скрещенными произведениями. Ответ на первый из этих вопросов неизвестен. Цель этого упражнения - дать набросок доказательства теоремы, принадлежащей Алберту, которая дает положительный ответ на второй вопрос. [1]
Это утверждение немедленно вытекает из предложения 20.3 и теоремы Амицура. [2]
Сейчас мы установим один технический результат, являющийся ключевым моментом доказательства теоремы Амицура. Для того чтобы алгебра Dn была скрещенным произведением, в ней должно существовать максимальное подполе Е, такое, что E / Ln - расширение Галуа. Из этого предположения с учетом леммы b вытекает существование максимальных подполей весьма специального вида в центральных простых алгебрах с делением над произвольным полем F. Для многих полей F и чисел п это приводит к противоречию. Следовательно, алгебра Dn не является скрещенным произведением. [3]
Дело в том, что полиномиальная степень тождества / равна 1 и по известной теореме Амицура коммутаторный идеал алгебры В является нильи-деалом. Коммутаторы образующих элементов порождают коммутаторный идеал, а по уже ставшей классической теореме А. И. Ширшова о высоте конечно порожденный нильидеал в алгебре с конечным числом образующих нильпотентен. [4]
Амицур [1] проводит построение производных функторов для произвольного аддитивного ковариантного функтора Г: & - - 23 где ЭД и 23 - некоторый абелевы категории. Построение Амицура по идее очень близко к построению Буксбаума сателлитов аддитивных функторов. Амицур вводит понятия направленной подкатегории и предела направленной подкатегории. [5]
Понятие универсального тела частных было введено Амицуром [66] в результате изучения обобщенных рациональных тождеств ( ср. Прямое описание этого понятия с помощью матриц, изложенное в § 7.2, основывается на работе Кона [72]; этим методом можно получить другое доказательство результатов Амицура ( ср. [6]
В ней дается краткое введение в теорию полиномиальных тождеств на алгебрах. Нашей главной целью является доказательство теоремы Амицура, устанавливающей существование конечномерных центральных простых алгебр с делением, не являющихся скрещенными произведениями. Этим обусловлен выбор тем, затронутых в настоящей главе. К счастью, при доказательстве теоремы Амицура используется ряд интересных результатов о полиномиальных тождествах. В их числе - теорема Амицура - Левицкого, теорема о существовании центральных полиномов и теорема Капланского - Амицура о примитивных Р / - алгебрах. [7]
Ввиду следствия 20.3 а алгебра Mn ( F) не удовлетворяет тождеству Гт 0, если т In. С другой стороны, легко показать, что произвольная - мерная / - - алгебра удовлетворяет тождеству Гот 0 при всех m k ( см. упр. Возникающая брешь между числами 2п - 1 и п2 1 заполняется важным результатом, впервые доказанным Амицуром и Левицким. [8]
Теорема 3 обобщается и на уравнения высокой степени над матрицами. Они доказали часть теоремы Виета для матриц, а затем использовали результат Амицура о том, что если что-то верно для матриц любых порядков, то это верно всегда. Хотя эта идеология противоречит реальному положению дел. Неверно, что матрицы высокого порядка - это то же самое, что свободная алгебра. В матрицах высокого порядка квадратное уравнение имеет много решений, а в свободной алгебре - не больше двух. Поэтому чем больше мы увеличиваем порядок матриц, тем дальше отдаляемся от свободной алгебры, по крайней мере в этой ситуации. [9]
В ней дается краткое введение в теорию полиномиальных тождеств на алгебрах. Нашей главной целью является доказательство теоремы Амицура, устанавливающей существование конечномерных центральных простых алгебр с делением, не являющихся скрещенными произведениями. Этим обусловлен выбор тем, затронутых в настоящей главе. К счастью, при доказательстве теоремы Амицура используется ряд интересных результатов о полиномиальных тождествах. В их числе - теорема Амицура - Левицкого, теорема о существовании центральных полиномов и теорема Капланского - Амицура о примитивных Р / - алгебрах. [10]
В ней дается краткое введение в теорию полиномиальных тождеств на алгебрах. Нашей главной целью является доказательство теоремы Амицура, устанавливающей существование конечномерных центральных простых алгебр с делением, не являющихся скрещенными произведениями. Этим обусловлен выбор тем, затронутых в настоящей главе. К счастью, при доказательстве теоремы Амицура используется ряд интересных результатов о полиномиальных тождествах. В их числе - теорема Амицура - Левицкого, теорема о существовании центральных полиномов и теорема Капланского - Амицура о примитивных Р / - алгебрах. [11]
Монография распадается на две части. Эта часть содержит основные теоремы о строении и представлениях ассоциативных алгебр, структурную теорему Веддерберна для полупростых алгебр, основную теорему Веддерберна, теоремы о строении проективных модулей над артиновыми алгебрами и недавние работы о типах алгебр. Вторая часть книги концентрируется вокруг центральных простых алгебр и понятия группы Брауэра поля. Глава 12 содержит необходимые технические средства для построения теории центральных простых алгебр: теорему плотности Джекобсона, теорему Сколема - Нетер и теорему о двойном централизаторе. Охватываемые второй частью вопросы довольно традиционны: поля разложения, когомологическая характеризация группы Брауэра, циклические алгебры, приведенная норма и ее приложения, группы Брауэра локальных и глобальных полей и, наконец, введение в работы Амицура по общим алгебрам. [12]