Cтраница 1
Обобщенные меры на фиксированном о - поле постоянно употребляются в той или иной форме ( особенно в форме неопределенных интегралов) в теории меры и в теории вероятностей. Многие свойства, приведенные в этой книге, являются не чем иным, как свойствами таких функций множеств. [1]
Следовательно, эти две обобщенные меры на U эквивалентны и равенство ( А. [2]
Поиски же, направленные на получение обобщенных мер, связаны с разработкой модели взаимодействия организма человека и нестационарного шума. Основные аспекты этой модели и следствия, вытекающие из нее, обсуждаются в следующих главах. [3]
Утверждение для мер на & сводится к утверждению для обобщенных мер. Отсюда следуют доказываемые неравенства. [4]
Большинство результатов этого параграфа остается справедливым для мер и обобщенных мер v, не являющихся конечными; существенно только, чтобы v была конечна на ограниченных интервалах. [5]
Обобщим теперь понятие преобразования Фурье на множество М всех конечных обобщенных мер на боре-левском а-поле d на Rk. [6]
As - оператор, действующий в пространстве функций, а Л - в пространстве обобщенных мер. [7]
Пусть ( X, S) - какое-нибудь измеримое пространство, a х и v - обобщенные меры, заданные на S. Следует обратить внимание на известное отсутствие симметрии в точном определении; малость ь выражена условием, наложенным на ее полную вариацию. Мы сейчас покажем, что это отсутствие симметрии только кажущееся. [8]
Выражая степень развития некоторого качества, эти критериальные величины представляют собой как бы диалектическое единство количества и качества, отражают единство конкретного и абстрактного, частного и общего; поэтому критериальные величины могут рассматриваться как обобщенные меры явления. Для них характерны устойчивость, способность к сохранению своей значимости в широком диапазоне изменения процесса. [9]
Так как X представляет собой соединение счетного числа измеримых множеств, на каждом из которых [ х и v конечны, то, не нарушая общности доказательства, можно с самого начала предположить, что обе рассматриваемые обобщенные меры конечны. [10]
Сумма двух ( вполне) о-конечных мер представляет собой ( вполне) а-конечную меру. Верно ли аналогичное утверждение для обобщенных мер. [11]
Континуальные интегралы ( интегралы Фейнмана) занимают одно нз центральных мест в математическом аппарате теоретической физики и находят все более широкое применение для решения разнообразных математических задач. В монографии дан обзор различных определений континуальных интегралов и соответствующих обобщенных мер на бесконечномерных пространствах, установлены связи между ними, описаны свойства этих интегралов и классов интегрируемых функционалов. Приведены применения континуальных интегралов при решении эволюционных уравнений ( в частности, уравнения Шредингера), при исследовании дифференциальных н псевдодифференциальных операторов н в других задачах. [12]
Мы показали, что обобщенная мера обладает многими важными свойствами неопределенного интеграла, обобщением которого она является. Однако неопределенному интегралу присущи некоторые свойства ( или лучше сказать, некоторые связи с той мерой, относительно которой он определен), непосредственно не распространяющиеся на обобщенные меры. С одним из таких свойств, в высшей степени важным - свойством абсолютной непрерывности - мы познакомились в § 23; здесь мы рассмотрим более общую схему, в рамках которой понятие абсолютной непрерывности сохраняет смысл. [13]
Если Y замыкает мартингал XT справа, то фх / является сужением фу на ( Xs, s0; это свойство достаточно для того, чтобы XT была мартингалом. T) является мартингалом, то функция множеств ф0, определенная на 0 с помощью своих сужений ф, на, (, конечно-аддитивна, но не обязательно а-аддитивна. На самом деле, из а-аддитивности ф0 и ограниченности сверху или снизу вытекает существование замыкающих обобщенных мер. Если, кроме того, ф0 т-конечна, то ф единственна и фактически является наиболее тесно примыкающей обобщенной мерой. [14]