Cтраница 1
Метод обратной итерации для вычисления отдельных собственных векторов трехдиагональной матрицы, видимо, наиболее эффективен при отыскании собственных векторов, соответствующих относительно небольшому числу собственных значений. Если собственные значения хорошо отделены, то метод обратной итерации дает изящный и эффективный алгоритм. [1]
Метод обратной итерации реализован посредством решения соответствующих уравнений методом исключения Гаусса с частичным выбором главного элемента. Когда AJ, комплексное, вычисления выполняют с использованием комплексной арифметики и вспомогательного массива Ь размерности ( п 2) Х п; воспользовавшись тем, что исходная матрица задана в форме Хессенберга, нижний левый треугольник массива Ь с основанием и высотой из п элементов используют для записи мнимых частей элементов матрицы приведения к треугольной форме. [2]
Метод обратных итераций сходится очень быстро; чаще всего требуется сделать 1 - 3 итерации. [3]
Доказать, что метод обратных итераций с переменным сдвигом ( 75) сходится квадратично вблизи простого собственного значения. [4]
Для сравнения применялся также метод обратных итераций [78], который оказался более быстрым, однако, менее надежным, так как для него требуется достаточно точное начальное значение энергии, что не всегда выполнимо при проведении массовых расчетов. [5]
Одной из проблем применения метода обратных итераций является необходимость получения хорошего начального приближения к собственному значению. [6]
Для нахождения собственных векторов удобен метод обратной итерации, заключающийся в следующем. [7]
Если все это принять во внимание, то алгоритмы метода обратной итерации становятся чрезвычайно сложными и должны, вероятно, содержать большое число параметров. Это существенно усложняет их использование. Кратные или очень близкие собственные значения обычны при работе с действительными симметрическими матрицами, а собственные значения неэрмитовых матриц, как правило, плохо обусловлены. Алгоритмы, приведенные ниже, учитывают эти обстоятельства. [8]
Если процедуру choldet ] или symdet используют для определения методом обратной итерации собственного вектора матрицы В, то матрицу А формируют равной В - U, где Я выбирают близким к наименьшему собственному значению матрицы В, но меньше его. [9]
Каждую пару собственных векторов, соответствующих собственному значению lambda [ ], вычисляют методом обратной итерации, используя предварительное разложение матрицы А - lambda X I на треугольные с помощью процедуры bandetl. Основную часть тела процедуры unsray составляет программа реализации метода обратной итерации для вычисления левых собственных векторов. В целочисленных массивах / [ i ] и с [ i ] фиксируется число итераций, потребовавшихся для определения каждого правого и левого собственного вектора соответственно; это число ограничено величиной la, являющейся входным параметром процедуры. Уточнение собственных значений выполняется с помощью обобщенных отношений Релея с учетом вычисленных собственных векторов. [10]
Чтобы изучить этот вопрос, мы рассмотрим заново степенной метод ( РМ) и метод обратных итераций ( INVIT) гл. [11]
Поскольку собственному значению Х4 5 соответствуют два линейно независимых собственных вектора, то нельзя было ожидать, что метод обратной итерации позволит определить именно такой вектор. В каждом случае вычисленный собственный вектор, соответствующий u j, существенно отличается от собственного вектора, соответствующего ц2 а совместно они полностью определяют связанное с ними двумерное подпространство. Точность вычисленных поправок с помощью отношения Релея не нарушается при появлении кратных корней, хотя влияние близких корней неблагоприятно. Практически поправки Релея были верны до 22 десятичных разрядов. [12]
Если собственные значения ленточной матрицы найдены с помощью одного из вышеприведенных алгоритмов, то соответствующие собственные векторы можно вычислить методом обратной итерации, используя процедуру symray. В этой процедуре предусмотрено уточнение найденных собственных значений с помощью отношения Релея; эти значения имеют точность выше обычной. [13]
Третий случай - когда матрица имеет кратные корни, но число ее собственных векторов меньше п - выходит за рамки нашего доказательства. Однако метод обратных итераций здесь также применим в той форме, - которая описана для кратных корней. Разница лишь в том, что если р-кратному собственному значению соответствуют всего q собственных векторов ( qip), то из полученных обратной итерацией векторов x ( k) только q будут линейно-независимыми. [14]
В принципе в подпространстве Sfm всегда возможно выбрать ортогональный базис, но на практике это делать не всегда удобно. Некоторые методы, такие, как метод обратных итераций, позволяют вычислять приближенные собственные векторы, которые не будут взаимно ортогональными в случае близко расположенных собственных чисел. Когда п велико, возникает соблазн обойти предупредительную переортогонализацию вычисленных собственных векторов, в особенности, если они почти ортогональны. [15]