Cтраница 1
Метод Бройдена устраняет трудности, характерные для метода Ньютона - Рафсона, связанные с вычислением матрицы Яко-би и ее обращением. [1]
Преимущество метода Бройдена состоит в том, что он не требует вычисления производных и решения системы линейных уравнений на каждой итерации. Этот метод использует приближенное значение матрицы, обратной матрице Якоби системы, и корректирует эту матрицу после каждой оценки функции. [2]
Решение систем нелинейных уравнений ( 3.1 - 3.5) осуществляется методом Бройдена. Частные производные, применяемые в методе Бройде-на, определяются численно или аналитически. Число итераций до сходимости к решению с требуемой точностью с вычислением частных производных численно и аналитически в большинстве случаев совпадают. Общее время сходимости при расчете простых и сложных ректификационных колонн, имеющих 10 - 20 теоретических тарелок, при использовании аналитических частных производных сокращается в 2 - 3 раза. С ростом размерности системы нелинейных уравнений ( числа, тарелок в колонне) процесса разделения эффект ускорения более заметен. [3]
При этом следует отметить, что если вместо формулы ( II, 13) используется формула ( II, 14), то метод Бройдена теряет это свойство. [4]
Представлен численный метод решения задач плоского пластического течения с кинематическими граничными условиями на основе метода характеристик, приводящий к нелинейным векторным уравнениям в конечномерном векторном пространстве, которые эффективно решаются методом Бройдена. Метод иллюстрируется на примерах технологических задач прессования ( волочения) и прокатки с максимальным трением. [5]
Метод Ньютона - Рафсона имеет хорошую сходимость, но при этом необходим расчет обратной матрицы Якоби на каждой итерации, что приводит к большим затратам машинного времени. Метод Бройдена [15], являясь развитием метода Ньютона - Рафсона, лишен этого недостатка. [6]
Непосредственное применение итерационных методов Н - Р (6.2) и метода Бройдена (6.4) для расчета систем уравнений БГЦ требует больших затрат машинного времени и может быть даже нерациональным. Для использования метода Бройдена необходимо запоминание матрицы [ Н ] ( п2 чисел), а корректировка этой матрицы требует примерно 3 / г2 операций умножения. Кроме этого, исходная матрица [ Я ] часто оценивается вычислением п2 частных производных с использованием численного возмущения в исходной точке и обращением полученной матрицы Якоби. [7]
В работе [180] представлен метод расчета ректификации многокомпонентных смесей, основанный на совместном решении системы уравнений, описывающих процесс. При этом независимые переменные - температуры, потоки жидкости и пара на тарелках определяются методом 6 123 ], дающим квадратичную сходимость в окрестности корня. Показано [16,17,36,38,41,43], что использование для этой цели метода Бройдена [85,119] позволяет ускорить поиск решения в 1 5 - 2 раза. Совместное решение общей системы уравнений этим методом обеспечивает устойчивую сходимость к решению системы нелинейных уравнений. Однако приходится выполнять большой объем вычислений для определения частных производных от невязок материального и теплового балансов по выбранным 2N независимым переменным. В монографии [2] рассмотрены различные способы определения этих производных. С целью избежания громоздкости вычислительных операций в работе [150] предлагается учитывать влияние возмущения температур и потоков жидкости только на соседних тарелках, при этом для повышения точности определения направления градиента при сходимости к решению и сокращения вычислительных операций используются аналитически вычисленные частные производные. В работе [169] предлагается учитывать влияние возмущения лишь на своей j - ой тарелке. Этот метод, очевидно, требует минимального объема вычислений, однако проигрывает в надежности и достоверности результатов расчета при решении сложных задач. [8]
Рассматриваемая задача является кинематически определимой и сводится к решению нелинейного векторного уравнения (4.14) относительно векторного аргумента (4.7), определяющего характеристику АВ. Углы ( р и ц2 находим из уравнений (4.16) методом Бройдена. В результате в узловых точках характеристики АВ находим нарушения условий непрерывности скорости (4.14), представляющие векторную функцию векторного аргумента (4.7), определяющего характеристику АВ. [9]
Матрица ( II, 52) является симметрической, поэтому ее норма равна максимальному собственному значению [ 20, с. Но норма произведения двух матриц меньше или равна произведению их норм [ 20, с. Следовательно, с увеличением / норма матрицы Cj не возрастает. С - - 0, а следовательно, В стремится к матрице А, нет. Отсюда следует, что для эффективной работы метода Бройдена требуется, чтобы в качестве В0 использовалось хорошее приближение к матрице Якоби. Это объясняет, почему обычно в качестве В0 используется разностная аппроксимация матрицы Якоби в начальной точке. [10]
Отсюда следует, что начиная с точки I, все последующие направления поиска будут лежать в подпространстве Q, ортогональном подпространству Q. Аналогично доказывается, что и все последующие векторы pk ( k i) будут принадлежать подпространству Q. Отсюда, между прочим, следует такой практический вывод. Поскольку маловероятно, чтобы истинное решение системы ( II, 8) лежало в этом подпространстве, то в этом случае будет найдено неправильное решение. Это же свойство, по-видимому, объясняет следующее явление, наблюдающееся при использовании метода Бройдена. Часто случается, что последовательные приближения X ] изменяются крайне медленно. По-видимому, это связано с тем, что в процессе поиска матрицы Ht становятся близкими к вырожденным, и направления поиска лежат вблизи некоторого подпространства, хотя решение не принадлежит этому подпространству. Поэтому очень важно принимать меры, препятствующие вырождению матрицы Я ( во время поиска. [11]