Cтраница 1
Метод локального потенциала особенно интересен для разре - женных газов и плазмы, где нельзя сделать предположения о локальном равновесии. Но даже в обычных задачах газокинетической теории этот метод можно использовать для вычисления высших приближений Чепмена - Энскога. Конечно, в этом случае пробные функции нужно выбирать, исходя из локальных равновесных распределений Максвелла. [1]
Метод локального потенциала позволяет решать несамосопряженные системы дифференциальных уравнений с помощью приближенных методов вариационного исчисления, который в частном случае самосопряженных уравнений сводится к классическому методу Релея - Ритца. Конечно, существуют и другие методы построения функционалов, дающих стационарное решение заданной несамосопряженной системы дифференциальных уравнений. Для этого строятся лагранжианы, содержащие дополнительные неизвестные функции, не входящие в первоначальные уравнения. Общий обзор таких методов и особенно методов, относящихся, к ассоциированным функциям, дан Шехтером [166]; этот автор рассматривает также трудности, которые могут здесь возникнуть. Методы, основанные на ассоциированных функциях, не следует путать с методом локального потенциала. [2]
Приложения метода локального потенциала к задаче сходимости последовательных приближений описаны в гл. [3]
Эти примеры также являются хорошей иллюстрацией использования метода локального потенциала. [4]
Как следует из (10.28), метод Галеркина и метод локального потенциала приводят к одним и тем же уравнениям Эйлера - Ла-гранжа. Он может быть использован в решении и несамосопряженных и нелинейных систем дифференциальных уравнений. К сожалению, этот метод не имеет вариационной природы и потому не содержит никакого минимального свойства, позволяющего решить задачу о сходимости последовательных приближений ( разд. Именно в этом пункте метод локального потенциала вносит существенное дополнение к методу Галеркина, так как заранее постулирует свойство минимума. Кроме того, во всей области, где справедливо предположение о локальном равновесии, минимальное свойство допускает очень интересную физическую интерпретацию. [5]
Как показано на рис. 12.3, кривая нейтральной устойчивости вычисленная этим методом, окружена областью, соответствующей пределу точности, которую можно получить методом локального потенциала. Платтен [136] утверждает, что снижение точности вычислений при больших величинах произведения аЛе связано, по-видимому, с не самосопряженным характером уравнения Орра - Зоммерфельда (12.10), а не с погрешностями численного метода. Фактически Платтен отметил, что несамосопряженный вклад урав-нения Орра - Зоммерфельда описывается величиной iaffieUD2W, роль которой возрастает с ростом ай. В связи с этим следует подчеркнуть, что сходимость, изучавшаяся в разд. [6]
Работа Шехтера, Хэмма и Пригожина [167], краткое содержание которой было приведено выше, основана на применении принципа смены устойчивости ( разд. Легру и Платтен [ ПО ] к дву-компонентной проблеме Бенара применили метод локального потенциала с учетом комплексных частот ( со; 0) ( ср. Качественные выводы этого исследования согласуются с расчетами Шехтера, Хэмма и Пригожина. [7]
Обычно этот критерий возникает в форме неполного дифференциала, а это означает, что не существует термодинамического потенциала, который может быть в классическом смысле связан с этим критерием. Однако он может быть использован для обобщения понятия термодинамический потенциал - это так называемый локальный потенциал ( гл. Главная особенность метода локального потенциала состоит в том, что каждая неизвестная функция ( например, распределение температуры в нелинейной задаче теплопроводности) появляется дважды: один раз - как среднее значение и другой раз - как флуктуирующая величина. Это приводит к обобщению классической вариационной техники на несамосопряженные задачи. Локальный потенциал достигает минимума ( в функциональном смысле), когда среднее значение совпадает с наиболее вероятным. [8]
Мы видим, что положение здесь такое же, как в обычных самосопряженных задачах. Но так как локальный потенциал не является истинным, выводы получаются менее убедительные, чем в обычной самосопряженной задаче. На самом деле сходимость метода локального потенциала выходит за рамки области, ограниченной выведенным выше достаточным условием. [9]
Как уже отмечалось в разд. Результаты всех перечисленных методов удовлетворительно согласуются друг с другом. По мнению авторов данной книги, ценность метода локального потенциала состоит в его широте и общности ( разд. [10]
Метод локального потенциала позволяет решать несамосопряженные системы дифференциальных уравнений с помощью приближенных методов вариационного исчисления, который в частном случае самосопряженных уравнений сводится к классическому методу Релея - Ритца. Конечно, существуют и другие методы построения функционалов, дающих стационарное решение заданной несамосопряженной системы дифференциальных уравнений. Для этого строятся лагранжианы, содержащие дополнительные неизвестные функции, не входящие в первоначальные уравнения. Общий обзор таких методов и особенно методов, относящихся, к ассоциированным функциям, дан Шехтером [166]; этот автор рассматривает также трудности, которые могут здесь возникнуть. Методы, основанные на ассоциированных функциях, не следует путать с методом локального потенциала. [11]
Кроме того, ради простоты, мы не интегрировали по частям тот член в (10.59), который соответствует химическим процессам. Во всяком случае, метод от этого не меняется. Подчеркнем также, что отвлекаясь от физической интерпретации (10.21) как наиболее вероятного состояния, локальным потенциалом можно пользоваться просто как вариационной техникой безотносительно к нашему фундаментальному предположению о локальном равновесии. В связи с этим, как отмечалось в разд. С другой стороны, можно ожидать, что метод локального потенциала приложим не только в термо - и гидродинамике, но и в других областях. Такой пример, относящийся к кинетической теории газов, кратко изложен в разд. Однако прежде всего посмотрим, как метод локального потенциала можно обобщить на случай процессов, зависящих от времени. [12]
Кроме того, ради простоты, мы не интегрировали по частям тот член в (10.59), который соответствует химическим процессам. Во всяком случае, метод от этого не меняется. Подчеркнем также, что отвлекаясь от физической интерпретации (10.21) как наиболее вероятного состояния, локальным потенциалом можно пользоваться просто как вариационной техникой безотносительно к нашему фундаментальному предположению о локальном равновесии. В связи с этим, как отмечалось в разд. С другой стороны, можно ожидать, что метод локального потенциала приложим не только в термо - и гидродинамике, но и в других областях. Такой пример, относящийся к кинетической теории газов, кратко изложен в разд. Однако прежде всего посмотрим, как метод локального потенциала можно обобщить на случай процессов, зависящих от времени. [13]