Cтраница 1
Метод центральной проекции ( или перспективы) заключается в следующем. [1]
Посмотрим, будет ли метод центральной проекции относить каждой точке-оригиналу определенную точку-изображение и, обратно, каждой точке-изображению точку-оригинал. [2]
В основу изучения проективной геометрии должен быть положен метод центральной проекции, так как под проективными свойствами - геометрических фигур разумеют те их свойства, которые сохраняются при всяком центральном проектировании. [3]
Таким образом, точечное соответствие, установленное с помощью центрального проецирования, обладает существенными нарушениями, без устранения которых применение метода центральных проекций невозможно. Это нарушение можно устранить, если дополнить каждую прямую бесконечно удаленной или несобственной точкой. [4]
Таким образом, точечное соответствие, установленное с помощью центральной проекции, обладает существенными дефектами, без устранения которых применение метода центральной проекции является неудобным. Другими словами, для изучения проективных свойств фигур евклидово пространство должно подвергнуться некоторой реконструкции. В результате этой реконструкции должно быть построено такое геометрическое пространство, в котором метод центральной проекции находил бы свое полное осуществление, свободное от каких-либо дефектов. [5]
Метод центрального проецирования, или конической перспективы ( см. рис. 1), дающий изображение предмета таким, каким мы его видим. В изображениях, выполненных этим методом, линии различного направления уменьшаются не в одинаковое число раз, что не позволяет судить о действительных размерах той или иной части предмета, поэтому метод центральных проекций не нашел широкого применения в машиностроении, но используется в архитектурных проектах при выполнении перспективы зданий ( рис. 2) и в живописи. [6]
Если задана какая-либо фигура, например тетраэдр ABCD ( черт. Однако, как мы увидим, применение метода центральной проекции в евклидовом пространстве встречает существенные затруднения. [7]
Так как все проектирующие лучи параллельны плоскости ю, то они лежат в одной ( проектирующей) плоскости а. Мы знаем, что в евклидовом пространстве такой линии не имеется. Таким образом, основываясь на принципе применимости метода центральной проекции и сохранения отношений принадлежности элементов пространства, мы приходим к выводу, что реконструкция евклидовой плоскости должна выразиться в присоединении к этой плоскости несобственной прямой, являющейся геометрическим местом несобственных точек плоскости. Так как любые две параллельные плоскости должны удовлетворять тем же требованиям ( что и плоскости со и ст), то сказанное относится ко всем плоскостям евклидова пространства. Благодаря введению несобственной прямой на каждой евклидовой плоскости в реконструированном пространстве совокупность плоскостей, параллельных одной плоскости, представляет собой пучок плоскостей, осью которого является несобственная прямая, принадлежащая всем плоскостям совокупности. [8]
Таким образом, точечное соответствие, установленное с помощью центральной проекции, обладает существенными дефектами, без устранения которых применение метода центральной проекции является неудобным. Другими словами, для изучения проективных свойств фигур евклидово пространство должно подвергнуться некоторой реконструкции. В результате этой реконструкции должно быть построено такое геометрическое пространство, в котором метод центральной проекции находил бы свое полное осуществление, свободное от каких-либо дефектов. [9]
АВ прямой s на другую прямую ( черт. Проекция отрезка АВ напрямую s, параллельную прямой а, представится отрезком АооВ, один конец которого Л является несобственной точкой. Наконец проекция того же отрезка АВ на прямую s дает отрезок А ооВ, так как именно этот отрезок соответствует углу ( ab), проектирующему данный отрезок АВ. Рассмотренный пример показывает, что метод центральной проекции может перевести обыкновенный ( евклидов) отрезок АВ в отрезок А оо В, содержащий несобственную точку. Вместе с тем благодаря расширению понятия отрезок всякая центральная проекция переводит любой отрезок прямой в некоторый отрезок другой прямой. [10]
Дополнение евклидова пространства несобственными элементами. В евклидовом пространстве параллельные прямые не пересекаются, параллельные плоскости также не пересекаются. Однако, как будет показано далее, применение метода центральной проекции в евклидовом пространстве встречает существенные затруднения. [11]