Cтраница 1
Метод последовательных смещений был отмечен Зейделем [1874], который не рекомендовал применять его. Несмотря на это, он широко известен как метод Зейделя, или метод Гаусса - Зейделя. [1]
Другой метод - метод последовательных смещений представляет собой разновидность метода одновременных смещений. Отличие состоит в том, что новое вычисленное значение / / сразу же используется в методе последовательных смещений для расчета PI I, j в соседней с г, / точкой. Метод последовательных смещений известен как метод Гаусса - Зей-деля и в связи с эллиптическими разностными уравнениями как метод Либманна. [2]
Если А имеет диагональное преобладание и не разложима, то метод последовательных смещений сходится. [3]
Если А симметрична и невырожденна и если все ап 0, то метод последовательных смещений для решения AUB сходится для всех начальных векторов U0 тогда и только тогда, когда А - положительно определенная матрица. [4]
Метод Гаусса - Зейделя в применении к эллиптическим разностным уравнениям называется методом Либмана или методом последовательных смещений. [5]
Теорема 21.2. Если матрица А порядка N симметрична и полуопределенна, причем все ai Q mo метод последовательных смещений для решения A U 0 сходится для всех начальных векторов U0 к некоторому решению U, этого уравнения. [6]
Многие исследователи высказываются в пользу метода последовательной верхней релаксации. Этот метод - разновидность метода последовательных смещений, в котором каждая компонента Р 1 меняется поочередно не на значение ДР 1, необходимое для того, чтобы удовлетворилось тг-ое уравнение, а на аДР 1, где а ( 1 jg a 2) выбирается так, чтобы скорость асимптотической сходимости при k - о была по возможности больше. [7]
Тогда уравнение AU 0 имеет ненулевые решения, и мы обозначим через S линейное подпространство всех таких решений. Разумно спросить, можно ли использовать метод последовательных смещений для нахождения точек S. Утвердительный ответ дается следующей, по-видимому новой, теоремой. [8]
Очевидно, что этот метод при большом числе узлов с неизвестными потенциалами, несмотря на свою исключительную простоту, требует применения цифровых вычислительных машин. Более рационален при решении задач на ЦВМ метод последовательных смещений, известный также под названиями: метод Гаусса - Зейделя и метод Либмана. В отличие от релаксационного метода, изложенного ранее, решение производится путем последовательного пересчета потенциалов узлов. [9]
Уравнения ( 28), записанные для всех регулярных узлов сетки с учетом значений функций ф в граничных узлах, образуют нелинейную систему относительно значений функций ф в узлах сетки. Эта система решается методом итерирования по координатам [14] ( методом последовательных смещений [13]), при котором новое приближение функции ф в центральном узле рассчитывается по формуле ( 28) через ее значения в окружающих узлах сетки, полученных при предыдущем расчете, а вновь полученное значение функции используется при счете нового приближения в соседних регулярных узлах сетки. [10]
Таким образом, каждый шаг процесса включает релаксацию самое большее пяти соседних компонент сразу. Этот метод не должен вызывать значительно больше трудностей при программировании, чем метод последовательных смещений. Однако весьма вероятно, что, когда последний метод сходится, он сходится много быстрее, чем метод Качмажа. Поэтому, вероятно, алгоритм Качмажа не следует использовать для крайних собственных значений. [11]
Другой метод - метод последовательных смещений представляет собой разновидность метода одновременных смещений. Отличие состоит в том, что новое вычисленное значение / / сразу же используется в методе последовательных смещений для расчета PI I, j в соседней с г, / точкой. Метод последовательных смещений известен как метод Гаусса - Зей-деля и в связи с эллиптическими разностными уравнениями как метод Либманна. [12]
Для любой матрицы А, любого порядка ст и любого множителя верхней релаксации со скорость сходимости R ( ( a; A, 0) может быть определена, если метод сходится, и будет дифференцируема для большинства значений со. Оптимальный выбор со таков, что R ( ( U; А, о) максимизируется. Это значение coopt зависит от А и ст. Для фиксированных А и а, таких, что метод последовательных смещений ( со 1) сходится, значение R ( l; А, о) известно. [13]
Согласно этому подходу, информация в ячейку передается только от ячеек, расположенных выше по потоку от данной, и, наоборот, информация от ячейки передается только ячейкам, расположенным ниже по потоку. При изменении знака скорости, например вблизи узла, схема модифицируется в соответствии с законами сохранения в каждой ячейке. Разностные соотношения для диффузионных членов строятся следующим образом: оператор Лапласа интегрируется по площади ячейки, соответствующей выбранной разностной сетке, и полученные в итоге однократные интегралы вычисляются по формуле трапецией, а нормальные к контуру производные заменяются центральными разностями. Источниковые члены аппроксимируются аналогичным образом. В результате получается система нелинейных алгебраических уравнений для искомых функций в узлах сетки. Она замыкается граничными условиями в конечно-разностном виде. Полученная алгебраическая система уравнений решается методом последовательных смещений Гаусса - Зейделя. Аппроксимация строится на неравномерной сетке, которая сгущается в области больших градиентов. Изменение числа линий сетки практически не сказывалось на результатах решения. [14]