Cтраница 1
Метод неподвижной точки для функциональных уравнений вида f [ F ( x, у) ] H [ f ( x) f ( y); х у ] ( итал. [1]
Таким образом, алгоритм метода неподвижной точки представляет из себя комбинацию метода наименьших квадратов и итерационного метода Якоби решения системы линейных алгебраических уравнений. На практике, однако, было установлено, что этот алгоритм далеко не всегда является сходящимся. Для улучшения сходимости были предложены различные его модификации. [2]
Весьма обстоятельное изложение его дано в статье В. В. Немыцкого Метод неподвижных точек в анализе ( Успехи математических наук, вып. [3]
Заметим, что при эксцентриситете е, близком к 1, метод неподвижной точки как для эллиптического, так и для гиперболического движений сходится медленно. В таких случаях применяют другие, более тонкие методы. [4]
Эйлера оказывается нелинейным) ( см. [12]), различным вариантам метода неподвижной точки ( см. Шаудера метод), к методу продолжения по параметру ( см. [3], [13]), и другим, применяемым главным образом к эллип-тич. [5]
Несмотря на свою простоту это правило имеет очень важное значение как один из самых первых результат то в применения метода неподвижной точки в теории вычислительных систем. Совместно с обычной процедурой исключения переменных правило Ардена может использоваться для решения любой системы линейных уравнений, заданной на множестве цепочек. [6]
Понятие неподвижной точки имеет огромное значение, хотя это и не очевидно с первого взгляда. Метод неподвижной точки является основным инструментом математического анализа при доказательстве теорем существования. С его помощью удается, во-первых, доказать существование решения различных уравнений ( алгебраических, дифференциальных и др.), а во-вторых, построить это решение. Например, известный метод Ньютона нахождения нулей функции опирается именно на теорию неподвижной точки ( упр. [7]
Так, было известно доказательство Пикара существования и единственности решения дифференциального уравнения, основанное на методе последовательных приближении искомой функции на отрезке другими функциями, получающимися по определенным правилам. А затем был сформулирован ( Банахом и другими) метод неподвижной точки, которым была доказана та же теорема. [8]
Так, было известно доказательство Пикара существования и единственности решения дифференциального уравнения, основанное на методе последовательных приближений искомой функции на отрезке другими функциями, получающимися по определенным правилам. А затем был сформулирован ( Банахом и другими) метод неподвижной точки, которым была доказана та же теорема. [9]
В настоящем параграфе проводится геометрически наглядное рассмотрение точечных отображений. Рассматривается преобразование прямой в прямую, окружности в окружность, излагается метод неподвижной точки и метод вспомогательных отображений, приводится значительное Число примеров точечных отображений, представляющих интерес для качественного исследования дифференциальных уравнений и связанных с ними колебательных явлений. [10]
В настоящем параграфе проводится геометрически наглядное рассмотрение точечных отображений. Рассматривается преобразование прямой в прямую, окружности в окружность, излагается метод неподвижной точки и метод вспомогательных отображений, приводится значительное число примеров точечных отображений, представляющих интерес для качественного исследования дифференциальных уравнений и связанных с ними колебательных явлений. [11]
Тут остается открытой проблема нахождения хороших пра ктических процедур для реализации программы (4.2) в только что определенном смысле. Любое из этих правил можно выбрать в качестве практического средства реализации рекурсивных программ / Теперь мы можем сказать, что вычислительный метод и метод неподвижной точки скорее взаимно дополняют друг друга нежели противоречат один другому: подход, основанный на неподвижной точке, с помощью первой теоремы о рекурси. [12]
Заканчивая обзор этих исследований С. Н. Бернштейна, обратим внимание на заключительную главу его работы [13], где, подводя итоги своей теории решения задачи Дирихле, он указывает, что те же принципы могут быть применены к решению других краевых задач, в частности, задачи Неймана, когда на контуре задана производная по нормали; для этого нужно доказать, что и в этих случаях справедлива теорема А. Позднейшие исследования Жиро, Шаудера, Лерэ и других отчасти осуществили эту программу; при этом принципиально новым была замена метода аналитического продолжения по параметру а более общими методами непрерывных изменений при формулировке и доказательстве теорем, аналогичных теореме А. Сущность этих методов достаточно полно освещена в статье В. В. Не-мыцкого Метод неподвижных точек в анализе, помещенной в вып. [13]
Другой подход, предложенный в [126], опирается на идеи В. Бернсайда [127] и использует простую, но важную теорему Альперина [128], обобщающую классические результаты Жорда-на и Манпинга. Эти же идеи положены в основу интенсивно разрабатываемого в настоящее время метода неподвижных точек, позволяющего резко сократить перебор при решении задачи о транзитивном расширении группы подстановок. [14]