Cтраница 3
Если действительно путь науки - формализация языка, то интуиционистская математика не принадлежит к науке в этом смысле слова. Скорее, она - естественная деятельность человека, которая сама по себе, конечно, может изучаться научными методами. Она действительно изучалась такими методами, а именно методом формализации интуиционистского рассуждения и методом семиотики, но очевидно, что ни это изучение, ни его результаты не принадлежат к интуиционистской математике. Ясно, что научное исследование интуиционистской математики никогда не даст полного и определенного ее описания, так же как недостижима полная теория других явлений. Как бы ни были интересны и полезны эти метаинтуиционистские рассмотрения, их нельзя включить в саму интуиционистскую математику. Само собой разумеется, что эти замечания не касаются описанной мною несколько ранее формализации внутри самой математики. [31]
Формализация методов генерации решений, их оценки и согласования является чрезвычайно сложной задачей. Эта задача стала интенсивно решаться с возникновением вычислительной техники. Ее решение сильно зависело и зависит от характеристик доступных аппаратных и программных средств, степени понимания проблем, по которым принимаются решения, и методов формализации. [32]
Лишь для них допускают точную формулировку интересующие математиков проблемы доказуемости и непротиворечивости в аксиоматич. Идея метода формализации доказательств принадлежит нем. Порецким, Шредером, Фреге, Пеана и др. В паст, время метод формализации доказательств является мощным орудием исследования в проблемах обоснования математики. [33]
Критика теоретико-множественного подхода к математике исторически, привела к возникновению двух путев преодоления трудностей в обоснования математики - интуиционизма Брауэра и формализма Гильберта. Обе концепции, развиваясь, оказывают значительное влияние друг на друга. Так, при обосновании непротиворечивости формальных теорий необходимо уточнить приемы содержательных умозаключений в метаматематике, что делается обычно в рамках тех или иных интуиционистских концепций. С другой стороны, именно с помощью метода формализации удалось получить ряд важнейших результатов в интуиционистской логике. [34]
В частности, ограничивается использование закона исключенного третьего. В финитной математике никаких антиномий не обнаружено и нет оснований их ожидать. С философской точки зрения способы рассуждения в финитной математике значительно более удовлетворительным образом отражают конструктивные процессы реальной действительности, чем в общей теоретико-множественной математике. Гильберт предложил метод формализации, являющийся одним из основных методов теории доказательств. [35]
Трудные проблемы приложения методов построения формальных систем и алгоритмизации связаны с уточнением смысла выражений научных и разговорных языков - с вопросами семантики. Идеальным следует считать такое уточнение семантики, которое опирается на алгоритмические методы, когда оперирование с абстрактными понятиями заменяется оперированием с символами, как с конструктивными материальными объектами ( Ю. А. Петров, 1967а, стр. В этом случае вместо работы с содержательными понятиями или абстрактными объектами ученый имеет дело с конструктивными объектами - со знаками. Такое уточнение семантики ( хотя оно, как мы увидим далее, и ограниченно) есть необходимое условие самой постановки задачи автоматизации интеллектуальных процессов. Поскольку такая автоматизация становится крайне актуальной для нашей цивилизации, следует ожидать дальнейшего возрастания роли в науке методов формализации и алгоритмизации. [36]
Для обычных математических теорий, таких как арифметика, анализ, теория множеств, как известно, невозможно задать эффективную процедуру, позволяющую по предложению языка выяснить, задает ли это предложение истинное или ложное высказывание. Приходится ограничиваться формулировкой некоторых общих принципов, семантических соглашений, которым должно удовлетворять наше понимание формул языка. Совокупность семантических соглашений составляет то, что называется семантикой языка. Семантика развитых математических теорий, таких как анализ или теория множеств, по необходимости является недостаточно ясной и носит отчасти философский характер. Однако, исходя из семантических соглашений, можно уже точно формулировать некоторые формальные аксиоматические теории. Если признать, что аксиомы и правила вывода аксиоматической теории Т согласованы со всеми семантическими требованиями семантики языка П, то можно признать, что формулы, выводимые в Г, отражают по крайней мере некоторый фрагмент содержательной математической теории. Такой метод формализации широко распространен в математической логике, и мы будем систематически его использовать при исследовании классической и интуиционистской семантик. [37]
Как следует из рис. 7.4, общей задаче моделирования химико-технологического процесса функции пользователя ограничиваются постановкой задачи моделирования и составлением математического описания. Последнее должно быть представлено в виде, пригодном для ввода в систему. В частности, описание должно быть представлено в матричном виде. Пакет программ является незамкнутым, поэтому пользователь имеет возможность вносить любые изменения и дополнения в общую схему моделирования на языке системы. Следовательно, необходимо иметь опыт программирования на рабочем языке пакета, в качестве которого обычно используются процедурно-ориентированные языки типа фортрана, ПЛ-1. Совершенствование методов формализации составления математического описания объекта позволяет еще в большей степени автоматизировать процесс моделирования. [38]