Cтраница 1
Метод Гильберта и метод Чепмена - Энскога - это методы теории возмущений для решения уравнения Больцмана в предположении малости числа Кнудсеыа; другие методы, основанные на предположении, что число Кнудсена велико, будут кратко описаны цозже ( § 3 гл. Оба они основаны на определенном предположении о порядке величины числа Кнудсена. Таким образом, промежуточный режим ( так называемая переходная область) остается незатронутым ни тем, ни другим подходом, поскольку его нельзя описать ни с помощью высших приближений теории сплошной среды, ни с помощью поправок к теории невзаимодействующих частиц. Следовательно, если мы хотим исследовать переходный режим, то необходимо или отказаться от мысли использовать методы возмущений, или разыскать какой-либо другой параметр, отличный от числа Киудсена, который можно было бы считать малым в подходящих условиях. [1]
Метод Гильберта особенно хорошо приспособлен к решению задач, в которых граница области не играет столь заметной роли, как в краевых задачах. Незначительная модификация позволяет включить в рассмотрение точечные особенности, и именно так Гильберт решает фундаментальную проблему для потоков на римановых поверхностях, тем самым получая необходимое обоснование предложенного Риманом подхода к теории абе-левых интегралов, а затем Гильберт показьюает, что и основные теоремы Пуанкаре и Кебе об униформизации могут быть доказаны тем же способом. [2]
Второй особенностью метода Гильберта является анонимность объектов, подчиняющихся данной системе аксиом. Она вытекает из самой сути метода: вместо того чтобы выводить аксиомы из физических свойств рассматриваемых объектов, метод предоставляет пользователям самим подобрать систему аксиом, которая удовлетворительно описывает объект их исследования. Это обеспечивает высокий уровень абстрактности метода - одна и та же система аксиом охватывает множество разных теорий, создатели которых, имея дело с совершенно различными понятиями, могли и не подозревать, что они, по сути, занимаются одной и той же задачей. И еще, если две различные системы аксиом обладают некоторым важным общим свойством, то это может спроецироваться на следствия из этих систем. Поясним последнее утверждение на простом примере. [3]
Как было указано выше, основной результат метода Гильберта состоит в том, что если допустить возможность разложения функции распределения в степенной ряд по числу Кнудсена, то можно получить макроскопическое описание газа в терминах плотности, массовой скорости и температуры. Это описание по существу дается уравнениями невязкой жидкости, но содержит поправки, вычисляемые путем решения линеаризованных уравнений. [4]
В то же время имеются примеры того, что уравнения высших приближений по методу Энскога - Чепмена не имеют решений, в то время как метод Гильберта позволяет построить решение в любом приближении. [5]
Другими словами, если в уравнении Больцмана и уравнениях сохранения перейти к безразмерным координатам, отнеся л; и у к характерной длине 6, то все рассуждения методов Гильберта и Энскога - Чепмена остаются без изменения. [6]
Цель метода Энскога - Чепмена состоит в установлении указанной связи и получении замкнутой системы гидродинамических уравнений. Установим вначале искомую связь, несколько изменив рассуждения метода Гильберта, приведенные в предыдущем параграфе. Вывод уравнений гидродинамики методом, близким к оригинальному методу Энскога - Чепмена, приведем позднее. [7]
Из уравнения (3.8) следует, что / 0 - снова максвелловская функция. Однако данный метод существенно отличается от метода Гильберта: параметры газа ( плотность, скорость и температура), входящие в эту максвелловскую функцию, являются теперь полными ( неразложенными), в то время как в функцию распределения нулевого порядка метода Гильберта входят параметры газа только нулевого приближения. [8]
Необходимо отметить, что входящие в разложения (8.27) функции / () отличны от функций / W, входящих в разложение (7.3) Гильберта. Действительно, функции / ( являются функциями от полных Гг и их производных. Различие между функциями /) и / () очень важно для понимания связи методов Гильберта и Энскога - Чепмена. Именно благодаря тому, что функции f № являются функциями от полных гидродинамических величин Гг, можно наложить условия (8.35), в то время как в методе Гильберта, согласно (7.15), ГГ. [9]
Вейерштрасса, - как тяжкое ярмо, затруднявшее их движение вперед. Всякая научная область, - сказал он, - жизнеспособна, пока в ней избыток новых проблем. Недостаток новых проблем означает отмирание или прекращение самостоятельного развития. Как вообще каждое человеческое начинание связано с той или иной целью, так и математическое творчество связано с постановкой проблем. Методологическое ( methodological) единство математики было для Гильберта результатом глубокого убеждения и опыта. Снова приведу его собственные слова: Перед нами встает вопрос, предстоит ли математике когда-нибудь то, что с другими науками происходит с давних пор, не распадается ли она на отдельные частные науки, представители которых будут едва понимать друг друга и связь между которыми будет поэтому становиться все меньше. Характерная особенность метода Гильберта - присущий ему прямой подход к решению проблем, не заслоняемых алгоритмами; Гильберт всегда рассматривает вопросы в их первозданной простоте. [10]