Cтраница 1
Метод сопряженного градиента иногда рассматривают как итерационный, однако при точных вычислениях он дает точное решение за конечное число шагов. Именно поэтому соответствующий алгоритм и включен в Справочник, хотя чисто итерационные методы в нем не рассматриваются. [1]
Метод сопряженных градиентов, как и другие способы ортогонализации, можно широко использовать для ускорения сходимости стационарных итерационных методов. [2]
Метод сопряженных градиентов является итерационным методом нахождения минимума квадратичной формы. Вычислительная схема метода сопряженных градиентов была обобщена на задачи нахождения минимума общих функций, не являющихся квадратичными. Опыт вычислений показал высокую эффективность метода, особенно в ситуациях, когда метод простого спуска по градиенту оказывался практически неработоспособным в силу крайне меД ленной сходимости. Ниже излагается вычислительная схема ме - тода в случае квадратичной функции, затем будет приведено его формальное обоснование. В заключение будет приведено обобщение вычислительной схемы в случае неквадратичной функции. [3]
Метод сопряженных градиентов в задачах на экстремум, Журн. [4]
Метод сопряженных градиентов обычно дает более быструю сходимость, чем метод скорейшего спуска, поскольку он не так инертен на поворотах траектории поиска. Недостаток его состоит в том, что при удалении от начальной точки д: ( 0) происходит накопление ошибок в вычислении очередного направления спуска. [5]
Метод сопряженных градиентов является частным случаем метода сопряженных направлений. Первоначально он был разработан Хестенсом и Штифелем ( 1952) применительно к решению системы совместных уравнений с положительно определенной матрицей коэффициентов. [6]
Метод сопряженных градиентов, как и другие способы орто-гонализации, можно широко использовать для ускорения сходимости стационарных итерационных методов. [7]
Метод сопряженных градиентов по своей идее ( теоретически) является прямым методом, поскольку при sn, где п - порядок матрицы Л, система векторов Л - о всегДа линейно зависима, и, следовательно, при некотором k процесс должен заканчиваться получением точного решения. С другой стороны, при реализации метода сопряженных градиентов на ЭВМ в случае матриц высокого порядка, как правило, уже через несколько десятков итераций из-за нелинейности возникает явление численной неустойчивости процесса ортогонализации и реальный процесс перестает отражать свойства реализуемого метода. При такой постановке скорость сходимости метода может быть оценена через скорость сходимости циклического чебышевского итерационного метода. [8]
Метод сопряженных градиентов использует лишь первые производные и в общем случае. [9]
Метод сопряженных градиентов сходится для любых а; скорость поиска - средняя по сравнению с методами градиентов и Ньютона. Объем вычислений здесь примерно такой же, как и в методе градиентов. Целесообразно применение его для поиска минимума плохо организованных функций. [10]
Метод сопряженных градиентов относится к так называемым квадратичным методам оптимизации. Такое название вызвано тем, что они строятся на основе квадратичного приближения исходной функции. Наиболее обширный класс методов квадратичной оптимизации представляют многошаговые методы сопряженных направлений. Эти методы достаточно просты при реализации на ЭВМ и в то же время обладают очень высокой скоростью сходимости. При необходимости производить оптимизацию при наличии помех нужно сделать предварительное тщательное сглаживание. [11]
Метод сопряженных градиентов сводится к следующим уравнениям. [12]
Метод сопряженных градиентов относится к так называемым квадратичным методам оптимизации. Такое название вызвано тем, что они строятся на основе квадратичного приближения исходной функции. Наиболее обширный класс методов квадратичной оптимизации представляют многошаговые методы сопряженных направлений. Эти методы достаточно просты при реализации на ЭВМ и в то же время обладают очень высокой скоростью сходимости. При необходимости производить оптимизацию при наличии помех нужно сделать предварительное тщательное сглаживание. [13]
Метод сопряженных градиентов Хестинса и Штифеля [1952] является одним из методов класса конечных итераций; будучи повторяющимся по структуре, он обеспечивает окончание процесса в конечное число шагов. Он не очень широко применяется для разностных уравнений из-за относительно высоких требований к памяти и относительно сложной структуры каждого итерационного шага. [14]
Первоначально метод сопряженных градиентов был разработан Хестенсом и Штифелем ( 1952) для решения систем линейных алгебраических уравнений Ах Ь с симметричной, положительно определенной матрицей А. Поэтому развитие и использование метода сопряженных градиентов как метода минимизации представляется совершенно естественным. [15]