Cтраница 3
Во многих практических задачах, приводящих к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, на первом плане стоит проблема получения результата с гарантированной точностью. Объем вычислений при этом учитывается не как первостепенный фактор. Решение этой проблемы значительно упрощалось бы, если бы были построены вычислительные методы, которые позволяют одновременно находить два приближенных решения данной задачи Коши, соответствующие значения которых в рассматриваемых точках расположены по разные стороны от истинного значения искомого решения. Задача о построении таких методов издавна привлекала внимание математиков. Еще в начале этого столетия С. А. Чаплыгиным, например, были разработаны основные принципы построения одного из двусторонних методов. Метод Чаплыгина принадлежит к группе аналитических методов и позволяет строить на каждом отрезке интегрирования две последовательности кривых, приближающих сверху и снизу искомую интегральную кривую данного уравнения. Правда, этот метод накладывает довольно сильные ограничения на правую часть дифференциального уравнения и, кроме того, он трудно реализуется при работе на ЭВМ. Мы остановимся здесь на рассмотрении методов несколько иного типа, которые не являются строго двусторонними и обеспечивают приближение к искомому значению точного решения с разных сторон лишь в смысле главного члена погрешности. Однако, в отличие от метода Чаплыгина, эти методы принадлежат к группе численных методов, легко реализуются на ЭВМ и являются более универсальными. [31]