Cтраница 1
Методы качественной теории дифференциальных уравнений широко применяются в самых разнообразных областях науки и техники, в том числе при изучении математических моделей химических реакторов и химических процессов. [1]
Исследование математической модели, состоящей из двух уравнений, проведено методами качественной теории дифференциальных уравнений с целью определения числа, типа и устойчивости состояний равновесия, построения фазового портрета системы, выяснения вопроса о возможности автоколебаний. [2]
Представляется, что полное изучение вариации б / составляет важное достоинство обсуждаемой здесь работы, так как такой анализ, выполненный методами качественной теории дифференциальных уравнений и с учетом закономерностей полета, вытекающих из общих теорем динамики, рисует картину решения проблемы в целом. В частности, при этом эффективно разрешается и вопрос о существовании оптимальной траектории и задача конкретного ее вычисления. При этом работа с вариацией б /, рассматриваемой не только на стационарных движениях и на экстремалях, позволяет еще ( и действительно позволила в дальнейшем, см. § 11) организовать эффективные численные процедуры для определения оптимальных движений в конкретных прикладных нелинейных задачах. К сожалению, в дальнейшем увлечение выводом различных форм необходимых условий оптимальности несколько затенило перечисленные выше и очень существенные для приложений обстоятельства. [3]
В основу этих моделей положены адаптированные для описания функционирования трубопроводных систем базовые уравнения механики сплошных сред, современные алгоритмы нелинейного и динамического программирования, методы качественной теории дифференциальных уравнений. [4]
Решение вопросов о существовании и амплитуде автоколебаний требует применения методов нелинейной механики. Важнейший вопрос об областях существования автоколебаний решается методами качественной теории дифференциальных уравнений. Значительно более простые вопросы о существовании малых колебаний и их затухании или раскачке сводятся к анализу устойчивости состояний равновесия. В терминах теории дифференциальных уравнений состояния равновесия могут быть представлены как особые точки системы дифференциальных уравнений. Классификация особых точек, развитая в классических работах Пуанкаре, является математической основой линейной теории колебаний. [5]
В книге впервые систематически рассмотрены вопросы устойчивости практически всех типов химических реакторов. Материал изложен на высоком теоретическом уровне. Для анализа устойчивости используются методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы Ляпунова. Приводятся многочисленные конкретные примеры анализа. [6]
В книге впервые систематически рассмотрены вопросы устойчивости практически всех типов химических реакторов. Материал изложен на высоком теоретической уровне. Для анализа устойчивости используются методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы Ляпунова. Приводятся многочисленные конкретные примеры анализа. [7]
Фазовое пространство такой системы - трехмерное евклидово пространство. Все фазовые траектории входят в некоторую ограниченную область, где могут переплетаться самым причудливым образом. Усилиями многих исследователей, использовавших методы качественной теории дифференциальных уравнений и численные эксперименты на современных вычислительных машинах, было показано, что сложные движения фазовых точек в системе Лоренца - хаотические. Вид одной из фазовых траекторий, соответствующей такому сложному движению, показан на рис. 1.14. Эта картинка получена на экране осциллографа путем высвечивания проекции фазовой точки через равные промежутки времени. [8]
В книге излагаются основы исследования устойчивости режимов работы химических реакторов идеального смешения. Описывается процедура составления математических моделей реакторов. Для исследования устойчивости в малом и в большом используются методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы Ляпунова. Применение различных методов иллюстрируется конкретными примерами. [9]
В книге излагаются основы исследования устойчивости-режимов работы химических реакторов идеального смешения. Описывается процедура составления математических моделей реакторов. Для исследования устойчивости в малом и в большом используются методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы Ляпунова. [10]
Для исследования динамических свойств нелинейных автоматических систем в настоящее время существует много методов, позволяющих исследовать свободные и вынужденные колебания нелинейных автоматических систем. Ведущее значение имеют методы, опирающиеся на фундаментальные теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости движения. Кроме них, широко применяются топологические методы, связанные с геометрическим построением структуры фазовых пространств, методы качественной теории дифференциальных уравнений, припасовывания, разностные, опирающиеся на понятие передаточной функции и частотной характеристики системы, а также математического моделирования. [11]
Дифференциальные уравнения (III.8) и (III.12), описывающие процессы поверхностного разделения при наличии химической реакции, сложны не менее уравнений (II.4), относящихся к случаям без реакции. Интегрирование этих уравнений может оказаться затруднительным, хотя и оправданнее практически в конкретных задачах, когда имеются данные об условиях фазового и химического равновесий. Однако подобный подход не позволяет исследовать общие закономерности процессов поверхностного разделения, и для этой цели более полезными оказываются методы качественной теории дифференциальных уравнений. В связи с этим, как и в главе II, исследование процессов поверхностного разделения целесообразно разделить на два этапа: во-первых, исследование локальных закономерностей в окрестности особых точек и, во-вторых, построение полной картины протекания процесса с учетом всех особых точек, имеющихся на диаграмме состояния системы. [12]