Cтраница 1
Финитные методы имеют ту же природу, что и методы интуиционистской элементарной арифметики. Некоторые формалисты пытаются ограничить их еще уже ( Гильберт и Бернайс [ 1934, стр. [1]
А теперь перед нами возникает вопрос о том, могут ли финитные методы вообще выйти за пределы формализуемых в способов рассуждений. [2]
Некоторые авторы пользуются приставкой мета для обозначения языка или теории, в которой другой язык или теория делаются предметом изучения, не ограниченного финитными методами. В этой книге мы пользуемся приставкой мета только тогда, когда методы финитны. [3]
Они показали неосуществимость в целом программы Гильберта ( см. Метаматематика), к-рая предусматривала полную формализацию существенной части математики и обоснование полученной формальной системы путем доказательства ее непротиворечивости финитными методами. [4]
Мы рассмотрели три категории формальных объектов ( § 16), но, если понадобится, мы будем вводить при их изучении и другие, коль скоро мы будем иметь дело с финитными методами. Помимо этого, несколько иное расширение нашего предмета изучения имеет место, когда мы переходим к исследованию вида метаматематических определений и теорем. [5]
В то же время работы Генцена и других авторов ( Аккер-1 мац, Шютте, о Торенцен, Спектор) выявили существование методов, близких к финитным и позволяющих все же обосновать непротиворечивость ряда формализованных теорий, не поддающихся финитным методам. [6]
Но на практике ограничение методов доказательства элементарными, финитными методами значительно усложняет метаматематические исследования, Оно мешает также полному распознаванию подлинной природы формализованных математических теорий с точки зрения методов и идей современной математики. Использование более развитых, нефинитных методов значительно облегчает уяснение математической структуры формализованных теорий. Множество всех термов любой формализованной теории является алгеброй; вообще говоря, алгеброй с бесконечно многими операциями, Множество всех формул формализованной теории также является алгеброй; вообще говоря, алгеброй с бесконечными операциями. Эти алгебры, в свою очередь, связаны с понятиями поля множеств и топологического пространства, С этой точки зрения представляется естественным применение в метаматематике методов алгебры, теории решеток, теории множеств и топологии. Вся совокупность полезных в метаматематике математических методов и составляет то, что в заглавии этой книги называется математикой метаматематики. [7]
В математике, породившей финитный формализм, соответствующие финитные методы не могли и не смогли занять ведущего положения, хотя и претендовали, да и сейчас иногда претендуют на это. В то же время, кибернетика, казалось бы стоящая ближе к человеку с его неформальными процедурами, восприняла финитный формализм безоговорочно и в полном объеме. Как следствие, утвердилась бесспорность этапа финитной формализации - мы считаем, что прежде чем решать задачу на ЭВМ, ее надо формализовать в виде некоторой финитной системы, например, в виде алгоритма. [8]
Другая возможность, указанная Гильбертом, состоит, в двух словах, в том, что в метаязыке1 допускаются только бесспорные средства обычной логики: основные принципы такой логики должны быть ясными, понимаемыми без затруднений. Разумеется, такие спорные средства, как доказательство от противного или лемма Цорна ( см. ниже, § 4.5), должны быть сразу же исключены. Что касается теорем существования, то их доказательства должны быть конструктивными; иными словами, для любого объекта, существование которого утверждается, должна указываться эффективная процедура его построения. Вообще, в метатеории можно использовать только финитные методы доказательства; это значит, что ни в одном доказательстве не допускается аргументация, апеллирующая к бесконечному множеству структурных свойств формул или же к бесконечному множеству операций над формулами. Далее, предполагается, что если, скажем, в качестве метаязыка взят русский язык, то фактически будет использоваться лишь некоторый очень узкий его фрагмент. Если разрешить использовать в качестве метаязыка весь русский язык, то возникает опасность возможности вывода его средствами классических парадоксов - например, парадокса Рассела. Исследование формальных теорий, использующее логические средства, соответствующие указанным здесь ограничениям, называется метаматематикой. Говоря коротко, метаматематика - это исследование формальных теорий теми методами, которые, по общему мнению, и должны использоваться для такого рода деятельности. [9]
Чтобы доказательство непротиворечивости было убедительным, рассуждения, посредством к-рых оно получе-нд, должны носить настолько элементарный характер, чтобы в их правильности нельзя было усомниться. Такие методы должны избегать использования актуальной бесконечности. Заметим, что гильбер-товская формулировка проблемы установления непротиворечивости не использует актуальной бесконечности, поскольку в утверждении о непротиворечивости речь идет не о совокупности всех доказательств, возможных в математике, а о произвольной доказательстве, к-рое, в свою очередь, является конечной цепочкой формул. Естественно поэтому было ожидать, что проблема непротиворечивости, сформулированная в финитных терминах, может быть решена финитными методами. [10]